Água escoa por uma placa plana com velocidade de aproximação de 0,02 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a velocidade da água a uma distância vertical de 10 mm da placa, a 1,5 \mathrm{~m} do bordo de ataque. Dados: \rho=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mu= 1,12 \times 10-3 \mathrm{~kg} /(\mathrm{m} . \mathrm{s}).

Passo 1

O enunciado descreve escoamento de água sobre uma placa plana com velocidade de aproximação \,U_\infty=0,02\,\mathrm{m/s}. Queremos a velocidade u a uma distância normal y=10\,\mathrm{mm} da placa, num ponto x=1,5\,\mathrm{m} do bordo de ataque. O regime é de camada limite laminar, portanto usaremos a solução de Blasius para perfil de velocidade:
– calcular o número de Reynolds local e a espessura da camada limite \delta(x);
– definir a variável de similaridade \eta e usar a função derivada f'(\eta) da solução de Blasius para obter u/U_\infty.

Passo 2

Calcular a viscosidade cinemática e o Reynolds local:
\nu=\frac{\mu}{\rho} =\frac{1,12\times10^{-3}}{10^{3}} =1,12\times10^{-6}\,\mathrm{m^2/s},
\mathrm{Re}_x=\frac{U_\infty\,x}{\nu} =\frac{0,02\times1,5}{1,12\times10^{-6}} \approx2,68\times10^{4}.
Como \mathrm{Re}_x<5\times10^5, o escoamento está em camada limite laminar. A espessura ligada de 99 % da velocidade é
\delta_{99}(x)=5{,}0\,\sqrt{\frac{\nu\,x}{U_\infty}} =5{,}0\,\sqrt{\frac{1,12\times10^{-6}\times1,5}{0,02}} \approx0{,}046\,\mathrm{m}.
Vemos que y=0{,}01\,\mathrm{m}<\delta_{99}, logo estamos dentro da camada limite laminar.

Passo 3

Na solução de Blasius temos a variável de similaridade
\eta =y\sqrt{\frac{U_\infty}{\nu\,x}} =0{,}01\;\sqrt{\frac{0{,}02}{1,12\times10^{-6}\times1{,}5}} \approx1{,}091.
O perfil de velocidade é dado por
\frac{u}{U_\infty}=f'(\eta),
onde f'(\eta) é tabulado. Alguns valores típicos são
\eta=1{,}0\to f'(1{,}0)=0{,}758 e
\eta=1{,}2\to f'(1{,}2)=0{,}855.
Interpolando linearmente para \eta=1{,}091:
f'(1{,}091)\approx 0{,}758 +\frac{0{,}091}{1{,}2-1{,}0}\,(0{,}855-0{,}758) \approx0{,}802.

Passo 4

Logo a velocidade procurada é
u = U_\infty\,f'(1{,}091) =0{,}02\times0{,}802 \approx0{,}0160\,\mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade da água a y=10\,\mathrm{mm} e x=1{,}5\,\mathrm{m} é aproximadamente
u\approx0{,}0160\,\mathrm{m/s}.

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