69 Suponha-se que uma força \vec{F}=2 x^{2} \hat{i}+2 y \hat{j}, com x em metros, esteja agindo sobre um determinado corpo e alterando somente sua energia cinética. Nesse caso, o trabalho realizado sobre o corpo, quando se desloca das coordenadas (2 m, 4 m ) para ( 8 \mathrm{~m}, 0 \mathrm{~m} ), é de 2.040 J .

Passo 1

O enunciado dá o campo de força \vec{F}(x,y)=2x^{2}\,\hat{\imath}+2y\,\hat{\jmath}
e pede o trabalho realizado ao levar o corpo de A=(2,4) até B=(8,0). Como só varia energia cinética, esse trabalho é
W=\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Verificamos se \vec{F} é conservativo, isto é, se existe uma função potencial f(x,y) tal que \vec{F}=\nabla f.
Compute \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(2x^{2})=0
e \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(2y)=0.
Como são iguais, o campo é conservativo e o trabalho independe do caminho.

Passo 3

Para achar a potencial f, integramos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x^{2}
em relação a x:
f(x,y)=\int 2x^{2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3}+g(y).
Depois impomos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=g'(y)=2y,
daí g(y)=y^{2}+C.
Portanto
f(x,y)=\frac{2}{3}x^{3}+y^{2}.

Passo 4

O trabalho é a diferença de potencial entre B e A:
W=f(B)-f(A) =\Bigl[\tfrac{2}{3}\,(8)^{3}+(0)^{2}\Bigr] -\Bigl[\tfrac{2}{3}\,(2)^{3}+(4)^{2}\Bigr].
Calculemos cada termo: \displaystyle \tfrac{2}{3}\,8^{3}=\tfrac{2}{3}\cdot512= \tfrac{1024}{3}, \displaystyle \tfrac{2}{3}\,2^{3}=\tfrac{2}{3}\cdot8=\tfrac{16}{3},
e (4)^{2}=16.
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W=\frac{1024}{3}-\Bigl(\frac{16}{3}+16\Bigr) =\frac{1024}{3}-\frac{16+48}{3} =\frac{1024-64}{3} =\frac{960}{3} =320\text{ J}.

Resposta

O trabalho correto é W=320\text{ J}, não 2.040\text{ J}.

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