Um fio retilíneo e longo possui uma densidade linear de cargas negativas fixas de \lambda= -4.2 \mathrm{nC} / \mathrm{m}. O fio é envolvido por uma casca cilíndrica coaxial, de paredes finas e isolantes, com um raio de 2.0 cm . A casca possui uma carga positiva uniformemente distribuída em sua superfície, com uma densidade superficial \sigma, de tal forma que o campo elétrico resultante na região externa à casca é nulo. Determine o valor de \sigma.

Passo 1

O enunciado descreve um fio retilíneo infinito com densidade linear de carga negativa \lambda = -4{,}2\times10^{-9}\,\mathrm{C/m}, envolto por uma casca cilíndrica isolante de raio R=2{,}0\,\mathrm{cm}. A casca possui carga positiva uniformemente distribuída em sua superfície, com densidade superficial \sigma. Pede-se \sigma tal que o campo elétrico na região externa à casca seja nulo. O conteúdo utilizado será a Lei de Gauss para simetria cilíndrica.

Passo 2

Para r>R, queremos que \mathbf{E}=0. Pela Lei de Gauss, o fluxo elétrico através de um cilindro gaussiano de raio r>R e comprimento L é
\Phi = E\,(2\pi r L) = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}\,.
Como E=0, o fluxo é zero, portanto a carga total interna deve ser nula:
Q_{\text{int}}=0\,.

Passo 3

A carga interna ao cilindro gaussiano é a soma da carga do fio mais a carga da casca:
Q_{\text{int}} = \lambda\,L + Q_{\text{casca}}\,.
A carga da casca em comprimento L vale
Q_{\text{casca}} = \sigma \times (\text{área da superfície}) = \sigma\,(2\pi R L)\,.áí
Logo,
Q_{\text{int}} = \lambda\,L + \sigma\,(2\pi R L)\,.

Passo 4

Impondo Q_{\text{int}}=0 e dividindo por L, obtemos
\lambda + 2\pi R\,\sigma = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sigma = -\frac{\lambda}{2\pi R}\,.

Passo 5

Substituindo \lambda = -4{,}2\times10^{-9}\,\mathrm{C/m} e R=2{,}0\times10^{-2}\,\mathrm{m}:
\sigma = -\frac{-4{,}2\times10^{-9}}{2\pi\,(2{,}0\times10^{-2})} = \frac{4{,}2\times10^{-9}}{0{,}04\pi} \approx 3{,}34\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^2}\,.

Resposta

\sigma \approx 3{,}3\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^2}.

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