Duas cascas esféricas condutoras e concêntricas possuem raios de 5.0 cm e 10.0 cm . A carga na casca interna é q_{1}=+6,00 \times 10^{-8} \mathrm{C}, e na casca externa é q_{2}=-9,00 \times 10^{-8} \mathrm{C}. Determine o módulo e a orientação (radial para dentro ou para fora) do campo elétrico nos seguintes pontos, medidos a partir do centro das cascas:
r=7.0 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado dá duas cascas esféricas condutoras concêntricas de raios 5{,}0\\ \mathrm{cm} e 10{,}0\\ \mathrm{cm}, com cargas q_{1}=+6{,}00\times10^{-8}\\ \mathrm{C} (interna) e q_{2}=-9{,}00\times10^{-8}\\ \mathrm{C} (externa). Pede-se o campo elétrico em r=7{,}0\\ \mathrm{cm}. O método é usar a Lei de Gauss para simetria esférica.

Passo 2

Como 5{,}0\\ \mathrm{cm}<r=7{,}0\\ \mathrm{cm}<10{,}0\\ \mathrm{cm}, estamos no espaço entre as cascas. A carga total envolvida pela superfície gaussiana é apenas a da casca interna, ou seja,
q_{\text{int}} = q_{1} = +6{,}00\times10^{-8}\\ \mathrm{C}.
Pela Lei de Gauss em simetria esférica,
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q_{\text{int}}}{r^{2}}.

Passo 3

Usando k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} = 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}, q_{\text{int}}=6{,}00\times10^{-8}\\ \mathrm{C} e r=0{,}07\\ \mathrm{m}, vem
E = \frac{8{,}99\times10^{9}\times6{,}00\times10^{-8}}{(0{,}07)^{2}} \approx1{,}10\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Como a carga envolvida q_{1} é positiva, o vetor campo aponta radialmente para fora da casca interna.

Resposta

E = 1{,}10\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}, radialmente para fora.

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