(6a Questão - 1,5 ponto) Considere a função f definida por:
f(x)=c a x^2-x ; se x<3 b ; se x=3 x^3+a x ; se x>3
Determine os valores de a e b que tornam a função f continua em toda a reta real (em particular, em x=3 ).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x)= a x^2-x, & x<3, b, & x=3, x^3+a x, & x>3,
definida em toda a reta real. O objetivo é achar a e b para que f seja contínua em toda a reta, em particular em x=3. O conteúdo envolve continuidade de funções definidas por partes e cálculo de limites laterais.

Passo 2

Para que f seja contínua em x=3, é necessário e suficiente que
limxto3^-f(x)=f(3)=limxto3^+f(x),
ou seja, as duas limites laterais existem e coincidem com o valor de f em x=3, que é b.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda:
limxto3^-f(x)=limxto3^-(a x^2-x)=acdot3^2-3=9a-3

Passo 4

Calcular o limite pela direita:
limxto3^+f(x)=limxto3^+(x^3+a x)=3^3+acdot3=27+3a

Passo 5

Igualar os limites para garantir continuidade:
9a-3=27+3a
Logo,
6a=30 Longrightarrow a=5

Passo 6

Substituindo a=5 em b=limxto3^-f(x) (ou em limxto3^+f(x)), obtemos
b=9cdot5-3=45-3=42

Resposta

a=5 e b=42

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