(6a Questão - 1,5 ponto) Considere a função definida por:
Determine os valores de a e b que tornam a função f continua em toda a reta real (em particular, em x=3 ).
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função
f(x)= a x^2-x, & x<3, b, & x=3, x^3+a x, & x>3,
definida em toda a reta real. O objetivo é achar a e b para que f seja contínua em toda a reta, em particular em x=3. O conteúdo envolve continuidade de funções definidas por partes e cálculo de limites laterais.
Passo 2
Para que f seja contínua em x=3, é necessário e suficiente que
limxto3^-f(x)=f(3)=limxto3^+f(x),
ou seja, as duas limites laterais existem e coincidem com o valor de f em x=3, que é b.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda:
limxto3^-f(x)=limxto3^-(a x^2-x)=acdot3^2-3=9a-3
Passo 4
Calcular o limite pela direita:
limxto3^+f(x)=limxto3^+(x^3+a x)=3^3+acdot3=27+3a
Passo 5
Igualar os limites para garantir continuidade:
9a-3=27+3a
Logo,
6a=30 Longrightarrow a=5
Passo 6
Substituindo a=5 em b=limxto3^-f(x) (ou em limxto3^+f(x)), obtemos