(7ª Questão - 1,5 ponto) Considere a função
definida por:
Determine, se existirem, as assintotas horizontais e verticais do gráfico de
e, com essas informações, faça um esboço de seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função
. O que a gente precisa fazer é descobrir se o gráfico dessa função tem assíntotas horizontais ou verticais. Assíntotas são aquelas linhas que o gráfico se aproxima, mas nunca toca. Para isso, vamos usar conceitos de análise de limites e comportamento de funções. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos procurar por assíntotas verticais. Essas ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. No nosso caso, o denominador é
.
Então, igualamos
:
Isso significa que
é um ponto onde a função pode ter uma assíntota vertical.
Passo 3
Agora, vamos verificar o comportamento da função quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo (
) e pelo lado negativo (
).
Para
:
Para
:
Como a função tende a
e
quando
se aproxima de 0 pelos lados positivo e negativo, respectivamente, isso confirma que existe uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Agora, vamos procurar por assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando
tende ao infinito positivo ou negativo, e a função se aproxima de um valor constante.
Vamos calcular o limite de
quando
e
:
Para
:
Para
:
Então, a função se aproxima de 1 quando
e de -1 quando
. Isso significa que temos duas assíntotas horizontais: uma em
e outra em
.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
:
- Assíntota vertical em
. - Assíntotas horizontais em
e .
O gráfico vai se aproximar dessas linhas assíntotas, nunca as tocando. Além disso, como o denominador é
, a função não está definida em
, e o comportamento das assíntotas nos diferentes limites nos dá uma ideia clara de como o gráfico se comporta nos extremos.
Resposta
A função possui uma assíntota vertical em
e duas assíntotas horizontais em
e
. Com base nisso, o esboço do gráfico apresenta estas assíntotas como linhas que o gráfico se aproxima, mas nunca toca.