(7ª Questão - 1,5 ponto) Considere a função f definida por:
f(x)=raizx^2+1x
Determine, se existirem, as assintotas horizontais e verticais do gráfico de f e, com essas informações, faça um esboço de seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função f(x) = raizx^2+1x . O que a gente precisa fazer é descobrir se o gráfico dessa função tem assíntotas horizontais ou verticais. Assíntotas são aquelas linhas que o gráfico se aproxima, mas nunca toca. Para isso, vamos usar conceitos de análise de limites e comportamento de funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos procurar por assíntotas verticais. Essas ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. No nosso caso, o denominador é x .
Então, igualamos x = 0 :
x = 0
Isso significa que x = 0 é um ponto onde a função pode ter uma assíntota vertical.

Passo 3

Agora, vamos verificar o comportamento da função quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo ( x to 0^+ ) e pelo lado negativo ( x to 0^- ).
Para x to 0^+ :
f(x) = raizx^2+1x approx raiz0 + 10^+ = 10^+ = +infty
Para x to 0^- :
f(x) = raizx^2+1x approx raiz0 + 10^- = 10^- = -infty
Como a função tende a +infty e -infty quando x se aproxima de 0 pelos lados positivo e negativo, respectivamente, isso confirma que existe uma assíntota vertical em x = 0 .

Passo 4

Agora, vamos procurar por assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando x tende ao infinito positivo ou negativo, e a função se aproxima de um valor constante.
Vamos calcular o limite de f(x) quando x to +infty e x to -infty :
Para x to +infty :
limx to +infty raizx^2+1x = limx to +infty x raiz1 + 1x^2x = limx to +infty raiz1 + 1x^2 = raiz1 + 0 = 1
Para x to -infty :
limx to -infty raizx^2+1x = limx to -infty |x| raiz1 + 1x^2x = limx to -infty -x raiz1 + 1x^2x = -raiz1 + 0 = -1
Então, a função se aproxima de 1 quando x to +infty e de -1 quando x to -infty . Isso significa que temos duas assíntotas horizontais: uma em y = 1 e outra em y = -1 .

Passo 5

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função f(x) = raizx^2+1x :
  • Assíntota vertical em x = 0 .
  • Assíntotas horizontais em y = 1 e y = -1 .
O gráfico vai se aproximar dessas linhas assíntotas, nunca as tocando. Além disso, como o denominador é x , a função não está definida em x = 0 , e o comportamento das assíntotas nos diferentes limites nos dá uma ideia clara de como o gráfico se comporta nos extremos.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em x = 0 e duas assíntotas horizontais em y = 1 e y = -1 . Com base nisso, o esboço do gráfico apresenta estas assíntotas como linhas que o gráfico se aproxima, mas nunca toca.

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