Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
lim x pi4 1-tg(x)cos x-sin x

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular
limx to tfracpi4 1 - tan xcos x - sin x
Isso é um problema de limite que dá uma forma “0/0” e envolve funções trigonométricas (tangente, cosseno e seno). Pra resolver, a gente vai usar uma identidade da tangente e simplificar até poder substituir x = pi/4 sem dar 0/0.

Passo 2

Primeiro, vamos ver qual é o tipo de indeterminação. Se eu plugo x = pi/4 diretamente:
  • Numerador: 1 - tan(pi/4) = 1 - 1 = 0.
  • Denominador: cos(pi/4) - sin(pi/4) = tfracraiz22 - tfracraiz22 = 0.
    Então tá “0/0” mesmo, tipo clássico que pede alguma manipulação algébrica ou identidade trigonométrica.

Passo 3

A gente conhece a identidade
tan x = sin xcos x
Logo
1 - tan x = 1 - sin xcos x = cos x - sin xcos x
Isso já é legal porque o numerador agora tem o mesmo cos x - sin x do denominador do limite.

Passo 4

Substituindo no limite:
1 - tan xcos x - sin x = tfraccos x - sin xcos xcos x - sin x = cos x - sin xcos xcdot1cos x - sin x = 1cos x
Repare que cancelou “ cos x - sin x”, limpando a indeterminação.

Passo 5

Agora não tem mais mistério: é só avaliar em x = pi/4:
1cos(pi/4) = 1tfracraiz22 = 2raiz2 = raiz2

Resposta

limx to tfracpi4 1 - tan xcos x - sin x = raiz2

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