( Questão - 1,5 ponto) Considere a função definida por:
Verifique se é contínua em .

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 5,&se x=2, dfracx^2+|x|-6|x-2|,&se xneq2,
e pede para verificar continuidade em x=2. Para isso vamos usar o conceito de continuidade pontual, que exige que
limxto2f(x)=f(2),
e também checar os limites laterais quando necessário.

Passo 2

Para xneq2, como estamos perto de 2 e 2>0, vale |x|=x. Então
x^2+|x|-6 = x^2+x-6 = (x+3)(x-2),
e assim
f(x)=(x+3)(x-2)|x-2|

Passo 3

No lado esquerdo ( xto2^-) temos |x-2|=2-x, logo
f(x)=(x+3)(x-2)2-x = -(x+3)
Portanto
limxto2^-f(x) = -l(2+3r) = -5

Passo 4

No lado direito ( xto2^+) temos |x-2|=x-2, logo
f(x)=(x+3)(x-2)x-2 = x+3
e assim
limxto2^+f(x) = 2+3 = 5

Passo 5

O valor da função em 2 é f(2)=5. Como
limxto2^-f(x) = -5 neq 5 e limxto2^+f(x) = 5 = f(2),
concluímos que não há limite único em x=2 (função descontinua lá), mas há continuidade pelo lado direito.

Resposta

A função não é contínua em x=2. Há continuidade à direita em x=2, mas não há continuidade à esquerda.

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