Determine,caso existam,os valores de
λ ∈ ℝ para os quais a equação dada representa uma hipérbole,incluindo o caso degenerado.
(c)(λ-2) x^{2}+2(λ-2) x+(λ+2) y{2}=λ{2}-3 λ+3 ;

Passo 1

O enunciado pede para classificar, em função do parâmetro \lambda\in\mathbb{R}, a curva dada por
(\lambda-2)\,x^{2}+2(\lambda-2)\,x+(\lambda+2)\,y^{2} \;=\;\lambda^{2}-3\lambda+3
e, em particular, determinar para quais \lambda ela é uma hipérbole (incluindo o caso degenerado). O conteúdo aqui é classificação de cônicas sem termo misto, usando o discriminante B^2-AC e completando quadrados para ver degenerescência.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma
A\,x^2 + C\,y^2 + D\,x + F = 0
com
A=\lambda-2,\quad C=\lambda+2,\quad D=2(\lambda-2),\quad F=-(\lambda^2-3\lambda+3).
Como não há termo xy, o discriminante é
\Delta = B^2 - AC = 0^2 - (\lambda-2)(\lambda+2) = 4 - \lambda^2.
Para hipérbole (não necessariamente degenerada) precisamos de \Delta>0, ou seja
4 - \lambda^2 > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -2 < \lambda < 2.

Passo 3

Para distinguirmos a hipérbole degenerada da não-degenerada, completamos os quadrados em x. Partimos de
(\lambda-2)x^2 + 2(\lambda-2)x + (\lambda+2)y^2 = \lambda^2-3\lambda+3.
Agrupando em x:
(\lambda-2)\bigl(x^2+2x\bigr) + (\lambda+2)y^2 = (\lambda-2)\bigl((x+1)^2-1\bigr)+(\lambda+2)y^2 = (\lambda-2)(x+1)^2 - (\lambda-2)+(\lambda+2)y^2.
Assim a equação vira
(\lambda-2)(x+1)^2 + (\lambda+2)y^2 = \lambda^2-3\lambda+3 + (\lambda-2) = \lambda^2 -2\lambda +1 = (\lambda-1)^2.

Passo 4

Para -2<\lambda<2 temos \lambda-2<0 e \lambda+2>0, ou seja coeficientes de (x+1)^2 e de y^2 com sinais opostos — condição de hipérbole. O caso degenerado ocorre exatamente quando o lado direito se anula, isto é (\lambda-1)^2=0, ou seja \lambda=1. Nesse caso a equação fica
(\lambda-2)(x+1)^2+(\lambda+2)y^2=0 \quad\Longrightarrow\quad (x+1)^2-3y^2=0
que é par de retas concorrentes.

Resposta

A equação representa uma hipérbole se, e só se, -2<\lambda<2.
Dentro desse intervalo, ela é degenerada (par de retas) exatamente em \lambda=1 e é hipérbole não-degenerada para os demais valores de \lambda em (-2,2)\setminus\{1\}.

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