Determine,caso existam,os valores de
λ ∈ ℝ para os quais a equação dada representa uma hipérbole,incluindo o caso degenerado.
(c)(λ-2) x^{2}+2(λ-2) x+(λ+2) y{2}=λ{2}-3 λ+3 ;
(c)(λ-2) x^{2}+2(λ-2) x+(λ+2) y{2}=λ{2}-3 λ+3 ;
Passo 1
O enunciado pede para classificar, em função do parâmetro
, a curva dada por
e, em particular, determinar para quais
ela é uma hipérbole (incluindo o caso degenerado). O conteúdo aqui é classificação de cônicas sem termo misto, usando o discriminante
e completando quadrados para ver degenerescência.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma
com
Como não há termo
, o discriminante é
Para hipérbole (não necessariamente degenerada) precisamos de
, ou seja
Passo 3
Para distinguirmos a hipérbole degenerada da não-degenerada, completamos os quadrados em
. Partimos de
Agrupando em
:
Assim a equação vira
Passo 4
Para
temos
e
, ou seja coeficientes de
e de
com sinais opostos — condição de hipérbole. O caso degenerado ocorre exatamente quando o lado direito se anula, isto é
, ou seja
. Nesse caso a equação fica
que é par de retas concorrentes.
Resposta
A equação representa uma hipérbole se, e só se,
.
Dentro desse intervalo, ela é degenerada (par de retas) exatamente em e é hipérbole não-degenerada para os demais valores de
em
.
Dentro desse intervalo, ela é degenerada (par de retas) exatamente em