6G.4 Uma solução com concentrações iguais de sacarina, um adoçante, e seu sal de sódio tem \mathrm{pH}=3,08. (a) Quais são os valores de K_{\mathrm{a}} e \mathrm{p} K_{\mathrm{a}} da sacarina? (b) Qual seria o pH se a concentração do ácido fosse duas vezes a do sal?

Passo 1

O enunciado descreve um tampão formado por sacarina (ácido fraco HA) e seu sal de sódio (base conjugada A^{-}) em concentrações iguais, com \mathrm{pH}=3,08. O conteúdo principal é a equação de Henderson–Hasselbalch, que relaciona pH, \mathrm{p}K_a e a razão entre as concentrações da base conjugada e do ácido.

Passo 2

Para um tampão com [\mathrm{HA}]=[\mathrm{A}^-], a equação de Henderson–Hasselbalch dá
\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + \log\frac{[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]} = \mathrm{p}K_a + \log 1 = \mathrm{p}K_a.
Logo,
\mathrm{p}K_a = 3,08.

Passo 3

A constante de acidez K_a é dada por
K_a = 10^{-\mathrm{p}K_a} = 10^{-3,08}.
Para calcular numericamente, note que 10^{-3,08} = 10^{-3}\times10^{-0,08} e 10^{-0,08}\approx0,83. Assim,
K_a \approx 0,001 \times 0,83 = 8,32\times10^{-4}.

Passo 4

Para a parte (b), em que a concentração do ácido é o dobro da do sal, temos [\mathrm{HA}]/[\mathrm{A}^-]=2. Usamos novamente Henderson–Hasselbalch:
\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + \log\frac{[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}.

Passo 5

Substituindo \mathrm{p}K_a=3,08 e [\mathrm{A}^-]/[\mathrm{HA}]=1/2,
\mathrm{pH} = 3,08 + \log\bigl(\tfrac12\bigr) = 3,08 - 0,3010 \approx 2,78.

Resposta

(a) \displaystyle K_a = 8,32\times10^{-4}, \mathrm{p}K_a = 3,08.
(b) \displaystyle \mathrm{pH}\approx2,78.

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