6)No desenho de modelos de automóveis,alguns parâmetros são estabelecidos como a altura do banco e a distância do teto,para acomodar confortavelmente 95 \% dos motoristas.Estudos anteriores estabeleceram o percentil 95 das alturas dos motoristas em 177,8 centímetros.Para verificar se esses estudos ainda são válidos,uma amostra aleatória de 100 motoristas foi selecionada.Os 12 motoristas mais altos na amostra apresentaram as seguintes alturas:
\begin{array}{llllllllllll} 184,4 & 177,8 & 181,1 & 179,1 & 179,8 & 193,0 & 178,1 & 184,2 & 180,6 & 179,3 & 182,6 & 184,9 \end{array}
É razoável considerar a altura 177,8 como o percentil 95?Construa o IC de 95 \% para esse percentil.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra aleatória de n=100 motoristas e quer testar se o valor de 177,8 cm continua sendo o percentil 95\% da população de alturas. Temos as doze maiores alturas observadas:
184,4,\;177,8,\;181,1,\;179,1,\;179,8,\;193,0,\;178,1,\;184,2,\;180,6,\;179,3,\;182,6,\;184,9.
O conteúdo usado será a construção de um intervalo de confiança não paramétrico para um quantil p=0,95 com base em estatísticos de ordem e na distribuição binomial.

Passo 2

Para um quantil p de uma distribuição, um intervalo de confiança de nível 1-\alpha é dado por
\P\bigl(X_{(j)} \le \xi_p \le X_{(k)}\bigr) \;=\;1-\alpha,
onde os índices j e k satisfazem
\P\bigl(\mathrm{Bin}(n,p)\le j-1\bigr)=\frac{\alpha}{2}, \quad \P\bigl(\mathrm{Bin}(n,p)\le k-1\bigr)=1-\frac{\alpha}{2}.
Aqui usamos \mathrm{Bin}(n,p) com n=100 e p=0,95.

Passo 3

Tomando \alpha=0,05, aproximamos \mathrm{Bin}(100,0,95) por uma normal de média \mu=np=95 e desvio padrão \sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{4,75}\approx2,18.
Para o limite inferior:
\frac{(j-1)+0,5 -95}{2,18}\approx z_{0,025}=-1,96 \quad\Longrightarrow\quad j\approx91.
Para o limite superior:
\frac{(k-1)+0,5 -95}{2,18}\approx z_{0,975}=+1,96 \quad\Longrightarrow\quad k\approx100.

Passo 4

Das doze maiores alturas, ordenando em crescente, temos
\begin{aligned} X_{(89)}&=177,8,&X_{(90)}&=178,1,&X_{(91)}&=179,1,\\\ X_{(92)}&=179,3,&X_{(93)}&=179,8,&\dots,&X_{(100)}&=193,0. \end{aligned}
Logo, X_{(91)}=179,1 cm e X_{(100)}=193,0 cm.

Passo 5

O intervalo de confiança de 95\% para o percentil 95\% é
\bigl[X_{(91)},\,X_{(100)}\bigr] =\bigl[\,179,1\;\text{cm},\,193,0\;\text{cm}\bigr].
Como 177,8 cm não pertence a esse intervalo, não é razoável manter 177,8 cm como o percentil 95\%.

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para o percentil 95\% é [179,1\;\text{cm},\,193,0\;\text{cm}]. Portanto, 177,8 cm não é plausível como percentil 95\%.

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