[7.1:66] Calcule o valor médio de f(x)=x sec ^2(x) no intervalo [0, pi / 4].

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função
f(x)=xsec^2(x)
no intervalo [0,pi/4].
Para isso precisamos usar a definição de valor médio de uma função contínua f em [a,b]:
bar f = 1b-aintegrala^bf(x),dx

Passo 2

Aplicando a fórmula ao nosso caso, temos
bar f = 1pi/4 - 0integral0^pi/4 x,sec^2(x),dx = 4piintegral0^pi/4 x,sec^2(x),dx

Passo 3

Para calcular integral x,sec^2(x),dx usamos integração por partes, escolhendo
u = x, dv = sec^2(x),dx
du = dx, v = tan(x)
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integral x,sec^2(x),dx = xtan(x) - integral tan(x),dx = xtan(x) + lnl(cos(x)r) + C

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a pi/4:
integral0^pi/4 x,sec^2(x),dx = l[xtan(x) + lnl(cos(x)r)r]0^pi/4 = l(tfracpi4cdot1 + lntfrac1raiz2r) - l(0 + ln1r) = pi4 - 12ln2

Passo 5

Substituindo na expressão do valor médio:
bar f = 4pil(pi4 - 12ln2r) = 1 - 2ln2pi

Resposta

O valor médio de f(x)=xsec^2(x) em [0,pi/4] é
1 - 2ln2pi

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