Nos Exerçicios de 9 a 22, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty cotg^-1 n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^infty cotg^-1n,
que é uma série numérica de termos positivos. O conteúdo principal aqui é reconhecer o comportamento assintótico de cotg^-1n quando ntoinfty e aplicar um teste de comparação (por exemplo, o teste da equivalência ou o teste da comparação limite).

Passo 2

Para grandes valores de n, usamos a identidade
cotg^-1n ;=;arctan!l(1nr),
válida para n>0. Como sabemos que
limxto0arctan xx=1,
podemos trocar x=1/n e obter
arctan!l(1nr)sim 1n quando ntoinfty

Passo 3

Definindo an=cotg^-1n e bn=tfrac1n, temos
limntoinftyanbn =limntoinftyarctan(1/n)1/n=1
Como sum bn=sum tfrac1n é a série harmônica e diverge, o teste da comparação limite garante que
sum an
também diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftycotg^-1n é divergente.

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