Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
f(t)=e^4 t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de f(t)=e^4t usando a definição
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt.

Passo 2

Escrevemos a definição e substituímos f(t)=e^4t:
Le^4t(s) =integral0^inftye^-st,e^4t,dt =integral0^inftye^-(s-4)t,dt

Passo 3

Para que a integral converja, precisamos de Re(s-4)>0, ou seja,
Re(s)>4

Passo 4

Assumindo Re(s)>4, avaliamos
integral0^inftye^-(s-4)t,dt =l[,-1s-4,e^-(s-4)tr]0^infty =1s-4

Passo 5

Concluímos que a transformada existe para Re(s)>4 e vale

Resposta

Le^4t(s)=1s-4, Re(s)>4

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