Nos Exerçicios de 9 a 22, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty cosech n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
onde . O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos, e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Definimos
e recordamos o teste da razão: se
existe e , então a série converge.

Passo 3

Vamos calcular
an+1an = 1/sinh(n+1)1/sinh(n) = sinh(n)sinh(n+1)
Usando sinh(x)=(e^x-e^-x)/2, obtemos
sinh(n)sinh(n+1) = e^n - e^-ne^n+1-e^-(n+1) = e^-1,1 - e^-2n1 - e^-2n-2 ;xrightarrow[ntoinfty]; e^-1
Logo L = e^-1<1.

Passo 4

Como , o teste da razão garante que
é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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