Nos Exerçicios de 9 a 22, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty tg^-1 nn^2+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty arctan nn^2+1
O conteúdo principal aqui é teste de comparação de séries e reconhecimento de séries p, além de usar o fato de que arctan n tende a um limite finito quando ntoinfty.

Passo 2

Observamos o comportamento de arctan n quando n cresce:
limntoinftyarctan n = pi2
Logo, para todo n>=1 vale
0 <= arctan n <= pi2

Passo 3

Usamos comparação termo a termo. Para n>=1,
0 <= arctan nn^2+1 <= pi2n^2+1 <= pi2n^2
E sumn=1^infty 1n^2 é uma série p com p=2>1, portanto convergente.

Passo 4

Como sum pi/2n^2 converge, pelo teste da comparação direta a série
sumn=1^infty arctan nn^2+1
também converge. Além disso, todos os termos são positivos, então a convergência é absoluta.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da comparação com a série p de p=2).

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