[7] Considere o sistema linear cuja matriz de coeficientes é a matriz esparsa
(a) Determine a solução por inspenção.
(b) Faça mudanças de linhas na matriz original para facilitar a aplicação do método de eliminação de Gauss. O que você pode concluir, de uma maneira geral?
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente resolver um sistema linear com a matriz esparsa
Parte (a): “solução por inspeção” – ou seja, ver equação a equação e isolar variáveis facinho.
Parte (b): fazer permutações de linhas para deixar a matriz triangular e aplicar Gauss sem mistério.
Conteúdo envolvido: sistemas lineares, substituição simples e pivoteamento (permutações) para facilitar eliminação de Gauss.
Passo 2
Olha as equações uma a uma, anotando cada linha de :
Agora isola fácil:
Da (2): .
Da (3): .
Da (5): .
Da (4): substitui → ⇒ ⇒ .
Finalmente na (1): ⇒ ⇒ ⇒ .
Passo 3
Para triangularizar sem pivô dividido, a gente pode trocar as equações na ordem em que cada uma isola uma só variável:
Colocar (2) em cima (liga só ),
depois (3) (só ),
depois (5) (só ),
em seguida (4) (já envolve ),
por fim (1) (todas as variáveis).
Ou seja, a nova ordem de linhas é . A matriz fica triangular “quase diagonal”, daí Gauss vira jogada de criança, sem operações complexas de zerar “no meio”.
Passo 4
Permutar linhas não muda o conjunto de soluções, mas pode:
revelar uma forma triangular (resolver direto por substituição),
evitar divisão por zeros no pivô,
manter a matriz o mais esparsa possível (menor custo computacional).
Em geral, antes de aplicar Gauss vale a pena buscar essa reordenação para simplificar a vida.
Resposta
.
Conclusão geral: permutando linhas a gente triangulariza , facilitando a eliminação de Gauss e preservando sparsidade sem alterar a solução.