[7] Considere o sistema linear cuja matriz de coeficientes é a matriz esparsa
A=(ccccc 1 & 1 & -1 & 2 & -1 2 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 4 & 0 & 0 & 16 & 0 0 & 0 & 4 & 0 & 0 ) e b=(c 2 2 2 20 4 )
(a) Determine a solução por inspenção.
(b) Faça mudanças de linhas na matriz original para facilitar a aplicação do método de eliminação de Gauss. O que você pode concluir, de uma maneira geral?

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente resolver um sistema linear com a matriz esparsa
A= 1 & 1 & -1 & 2 & -1 2 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 4 & 0 & 0 & 16 & 0 0 & 0 & 4 & 0 & 0 , b=222204
Parte (a): “solução por inspeção” – ou seja, ver equação a equação e isolar variáveis facinho.
Parte (b): fazer permutações de linhas para deixar a matriz triangular e aplicar Gauss sem mistério.
Conteúdo envolvido: sistemas lineares, substituição simples e pivoteamento (permutações) para facilitar eliminação de Gauss.

Passo 2

Olha as equações uma a uma, anotando cada linha de :
Agora isola fácil:
  • Da (2): .
  • Da (3): .
  • Da (5): .
  • Da (4): substitui .
  • Finalmente na (1): .

Passo 3

Para triangularizar sem pivô dividido, a gente pode trocar as equações na ordem em que cada uma isola uma só variável:
  • Colocar (2) em cima (liga só ),
  • depois (3) (só ),
  • depois (5) (só ),
  • em seguida (4) (já envolve ),
  • por fim (1) (todas as variáveis).
Ou seja, a nova ordem de linhas é . A matriz fica triangular “quase diagonal”, daí Gauss vira jogada de criança, sem operações complexas de zerar “no meio”.

Passo 4

Permutar linhas não muda o conjunto de soluções, mas pode:
  • revelar uma forma triangular (resolver direto por substituição),
  • evitar divisão por zeros no pivô,
  • manter a matriz o mais esparsa possível (menor custo computacional).
Em geral, antes de aplicar Gauss vale a pena buscar essa reordenação para simplificar a vida.

Resposta

.
Conclusão geral: permutando linhas a gente triangulariza , facilitando a eliminação de Gauss e preservando sparsidade sem alterar a solução.

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