[3] Considere o sistema linear,
r x1+x2+4 x3+x4=2 x2+2 x3+4 x4=9 2 x1+4 x2-x3=2 5 x1+x2+x3+2 x4=0
(a) Obtenha a decomposição LU da matriz associada ao sistema de equações lineares.
(b) Resolva o sistema linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede duas coisas:
  1. Fazer a decomposição LU da matriz dos coeficientes do sistema
  2. Usar essa decomposição pra resolver o sistema
    O que a gente vai usar:
  • A ideia de fatorar a matriz A em L,U, onde L é triangular inferior com 1’s na diagonal e U é triangular superior.
  • Eliminação de Gauss (método de Doolittle) pra achar os multiplicadores e montar L e U.
  • Substituição para frente ( L,y=b) e pra trás ( U,x=y).

Passo 2

Vamos decompor
A= 1&1&4&1 0&1&2&4 2&4&-1&0 5&1&1&2
em L,U.
Na prática, fazemos eliminação de Gauss guardando os multiplicadores em L.
  1. Pivot a11=1.
    • m21=0/1=0,, m31=2/1=2,, m41=5/1=5.
    • Subtraímos dessas linhas 1 vez a linha 1 vezes o multiplicador, gerando novas linhas 2,3,4.
  2. Pivot a22=1.
    • m32=2/1=2,, m42=-4/1=-4.
  3. Pivot a33=-13.
    • m43=(-11)/(-13)=11/13.
No fim disso obtemos
L= 1&0&0&0 0&1&0&0 2&2&1&0 5&-4&tfrac1113&1 , U= 1&1&4&1 0&1&2&4 0&0&-13&-10 0&0&0&tfrac27913

Passo 3

Agora a gente resolve L,y=b com b=(2,9,2,0)^T por substituição pra frente:
y1=2, y2=9-0cdot y1=9, y3=2-2y1-2y2=2-2cdot2-2cdot9=-20, y4=0-5y1+4y2-tfrac1113y3 =0-5cdot2+4cdot9-tfrac1113(-20) =tfrac55813

Passo 4

Agora U,x=y por substituição pra trás:
27913x4=55813Rightarrow;x4=2, -13,x3-10,x4=-20Rightarrow;-13x3-20=-20;Rightarrow;x3=0, x2+2x3+4x4=9Rightarrow;x2+0+8=9;Rightarrow;x2=1, x1+x2+4x3+x4=2Rightarrow;x1+1+0+2=2;Rightarrow;x1=-1

Resposta

A decomposição LU e a solução são:
L= 1&0&0&0 0&1&0&0 2&2&1&0 5&-4&tfrac1113&1 , U= 1&1&4&1 0&1&2&4 0&0&-13&-10 0&0&0&tfrac27913 , x=-1102

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