[3] Considere o sistema linear,
(a) Obtenha a decomposição LU da matriz associada ao sistema de equações lineares.
(b) Resolva o sistema linear.
(b) Resolva o sistema linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede duas coisas:
- Fazer a decomposição LU da matriz dos coeficientes do sistema
- Usar essa decomposição pra resolver o sistema
O que a gente vai usar:
- A ideia de fatorar a matriz
emA , ondeL,U é triangular inferior com 1’s na diagonal eL é triangular superior.U - Eliminação de Gauss (método de Doolittle) pra achar os multiplicadores e montar
eL .U - Substituição para frente (
) e pra trás (L,y=b ).U,x=y
Passo 2
Vamos decompor
em
L,U .
Na prática, fazemos eliminação de Gauss guardando os multiplicadores emL .
Na prática, fazemos eliminação de Gauss guardando os multiplicadores em
- Pivot
.a11=1 -
,m21=0/1=0, ,m31=2/1=2, .m41=5/1=5 - Subtraímos dessas linhas 1 vez a linha 1 vezes o multiplicador, gerando novas linhas 2,3,4.
-
- Pivot
.a22=1 -
,m32=2/1=2, .m42=-4/1=-4
-
- Pivot
.a33=-13 -
.m43=(-11)/(-13)=11/13
-
No fim disso obtemos
Passo 3
Agora a gente resolve
L,y=b com
b=(2,9,2,0)^T por substituição pra frente:
Passo 4
Agora
U,x=y por substituição pra trás:
Resposta
A decomposição LU e a solução são: