[2] Resolva o sistema linear abaixo usando o Método de Eliminação de Gauss e a decomposição LU.
[
\left{ 7 x1+2 x2-5 x3 & =-18 x1+5 x2-3 x3 & =-40 2 x1-x2-9 x3 & =-26 \right.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente resolver o sistema
7x1+2x2-5x3 = -18, x1+5x2-3x3 = -40, 2x1-x2-9x3 = -26
usando (1) o Método de Eliminação de Gauss e (2) a decomposição .
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: sistemas lineares, operações elementares em linhas, decomposição de matrizes. Vamos precisar montar a matriz aumentada, usar pivôs para zerar abaixo, depois extrair e , e por fim fazer substituições diretas e reversas.

Passo 2

Começando pela eliminação de Gauss. A ideia é pegar a matriz aumentada
[
\bigl[A\mid b\bigr]

\left[ l[Amid br] = [ccc|c 7 & 2 & -5 & -18 1 & 5 & -3 & -40 2 & -1 & -9 & -26 ] \right]
]
e zerar as entradas abaixo do pivô R2 R2 - 17R1 usando operações do tipo “linha R2: 1-tfrac17cdot7 = 0, 5-tfrac17cdot2 = tfrac337, -3 -tfrac17(-5)= -3 +tfrac57 = -tfrac167, -40 -tfrac17(-18)= -40 +tfrac187 = -tfrac2627 menos múltiplo da linha 1”.
  1. Para zerar R3 R3 - 27R1 :
    R3: 2-tfrac27cdot7 = 0, -1-tfrac27cdot2 = -tfrac117, -9 -tfrac27(-5) = -9 +tfrac107 = -tfrac537, -26 -tfrac27(-18) = -26 +tfrac367 = -tfrac1467
    Isso dá
    [ccc|c 7 & 2 & -5 & -18 0 & tfrac337 & -tfrac167 & -tfrac2627 0 & -tfrac117& -tfrac537 & -tfrac1467 ]
  2. Para zerar :
    Fica
Agora nossa matriz está

Passo 3

Próximo pivô é R3 R3 - -tfrac117tfrac337,R2 = R3 + 1133R2 = R3 + tfrac13R2 . A gente zera -tfrac117 + tfrac13cdottfrac337 = 0, -tfrac537 + tfrac13l(-tfrac167r) = -tfrac537 - tfrac1621 = -tfrac159+1621 = -tfrac17521 = -tfrac253, -tfrac1467 + tfrac13l(-tfrac2627r) = -tfrac1467 - tfrac26221 = -tfrac438+26221 = -tfrac70021 = -tfrac1003 fazendo
[,0,,,0,,,-tfrac253mid -tfrac1003,]
Calculando cada entrada de U = 7 & 2 & -5 0 & tfrac337 & -tfrac167 0 & 0 & -tfrac253 :
Então a linha 3 fica
Nossa matriz triangular superior é

Passo 4

Agora faz a substituição reversa pra achar -tfrac253,x3 = -tfrac1003 ;Longrightarrow; x3 = -tfrac1003-tfrac253 = 10025 = 4 .
Da linha 3:
33,x2 -16cdot x3 = -262 ;Longrightarrow; 33,x2 -16cdot4 = -262 ;Longrightarrow; 33,x2 = -262 +64 = -198 ;Longrightarrow; x2 = -6
Da linha 2 (multiplicando tudo por 7 pra ficar mais limpo):
7x1 + 2x2 -5x3 = -18 ;Longrightarrow; 7x1 +2(-6) -5(4) = -18 ;Longrightarrow; 7x1 -12 -20 = -18 ;Longrightarrow; 7x1 = 14 ;Longrightarrow; x1 = 2
Da linha 1:

Passo 5

Agora a decomposição L = 1 & 0 & 0 tfrac17 & 1 & 0 tfrac27 & -tfrac13 & 1 , U = 7 & 2 & -5 0 & tfrac337 & -tfrac167 0 & 0 & -tfrac253 . A gente guarda os multiplicadores que usamos:
  • Para zerar y1 = -18, tfrac17y1 + y2 = -40 ;Longrightarrow; y2 = -40 - tfrac17(-18) = -tfrac2627, tfrac27y1 -tfrac13y2 + y3 = -26 ;Longrightarrow; y3 = -26 -tfrac27(-18) + tfrac13l(-tfrac2627r) = -tfrac1003 : x = (2,,-6,,4) .
  • Para zerar : .
  • Para zerar :
Assim
Confere que .
Para resolver via , a gente faz primeiro por substituição direta:
Depois por retro-substituição (é exatamente o que fizemos no Passo 4) e achamos

Resposta

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