7〉 Demonstre que em um domínio principal, todo ideal primo não nulo é maximal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um domínio principal R, todo ideal primo não nulo é maximal.
Conteúdo necessário: definição de domínio principal, ideal principal, ideal primo e ideal maximal.

Passo 2

Seja P um ideal primo não nulo de R. Como R é um domínio principal, existe algum elemento p\neq0 em R tal que
P = (p).
Sabemos que P=(p) é primo, ou seja, o quociente R/(p) é um domínio integral. Na teoria de ideais, isso equivale a dizer que p é um elemento primo em R: sempre que p\mid ab, então p\mid a ou p\mid b.

Passo 3

Para mostrar que (p) é maximal, considere um ideal I qualquer com
(p)\subseteq I \subseteq R.
Como R é principal, existe a\in R tal que I=(a). De (p)\subseteq (a) segue p\in (a), portanto existe b\in R com
p = a\,b.
Como p é primo, da igualdade p = a\,b decorre que a ou b é unidade em R.
  • Se a é unidade, então (a)=R, isto é, I=R.
  • Se b é unidade, então a é associado a p e (a)=(p), isto é, I=(p).

Passo 4

Não há, portanto, nenhum ideal estritamente entre (p) e R. Isso mostra que (p) é maximal.

Resposta

Em um domínio principal, todo ideal primo não nulo é maximal.

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