7〉 Demonstre que em um domínio principal, todo ideal primo não nulo é maximal.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um domínio principal
, todo ideal primo não nulo é maximal.
Conteúdo necessário: definição de domínio principal, ideal principal, ideal primo e ideal maximal.
Conteúdo necessário: definição de domínio principal, ideal principal, ideal primo e ideal maximal.
Passo 2
Seja
um ideal primo não nulo de
. Como
é um domínio principal, existe algum elemento
em
tal que
Sabemos que
é primo, ou seja, o quociente
é um domínio integral. Na teoria de ideais, isso equivale a dizer que
é um elemento primo em
: sempre que
, então
ou
.
Passo 3
Para mostrar que
é maximal, considere um ideal
qualquer com
Como
é principal, existe
tal que
. De
segue
, portanto existe
com
Como
é primo, da igualdade
decorre que
ou
é unidade em
.
- Se
é unidade, então , isto é, . - Se
é unidade, então é associado a e , isto é, .
Passo 4
Não há, portanto, nenhum ideal estritamente entre
e
. Isso mostra que
é maximal.
Resposta
Em um domínio principal, todo ideal primo não nulo é maximal.