Em \mathbb{Z}[x], encontre \operatorname{MDC}\left(2 x, x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar o MDC em \mathbb{Z}[x] de 2x e x^2. O conteúdo aqui é divisibilidade em anéis de polinômios e o conceito de maior divisor comum (MDC) em um UFD (domínio de fatoração única).

Passo 2

Em \mathbb{Z}[x], um polinômio d é MDC de f e g se satisfaz dois requisitos:
  1. d divide f e d divide g.
  2. Todo outro polinômio que divide simultaneamente f e g também divide d.
    As únicas unidades em \mathbb{Z}[x] são \pm1, portanto o MDC é único até sinal. Convencionamos escolher o MDC monic (coeficiente líder igual a 1).

Passo 3

Vamos fatorar os dois polinômios:
2x = 2 \cdot x
x^2 = x \cdot x
Os fatores irreduzíveis que aparecem em ambos são exatamente x. Não há nenhum outro fator não-unitário em comum.

Passo 4

Como x divide tanto 2x quanto x^2 e não existe divisor de grau maior com essa propriedade, concluímos que o MDC (monic) é

Resposta

x

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