Prove que
é um domínio principal.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
é um domínio de ideais principal. Vamos mostrar que ela admite algoritmo de Euclides usando a norma
o que implica que é um domínio euclidiano e, portanto, um PID.
Passo 2
Definimos o anel dos inteiros gaussianos como
A norma
satisfaz:
e além disso, para quaisquer
,
Passo 3
Dado
com
, consideramos o quociente em
. Escolhemos um
de modo que a parte real de
fique a menos de
de
e a parte imaginária a menos de
de
. Definimos então o resto
Passo 4
Pela escolha de
, vale
Logo,
o que estabelece o algoritmo de divisão com resto menor em norma.
Passo 5
Como para todo par
com
podemos escrever
com
,
é domínio euclidiano. Portanto, é domínio de ideais principal.