Prove que \mathbb{Z}[i] é um domínio principal.

Passo 1

O enunciado pede para provar que \mathbb{Z}[i] é um domínio de ideais principal. Vamos mostrar que ela admite algoritmo de Euclides usando a norma
N(a+bi)=a^2+b^2,
o que implica que é um domínio euclidiano e, portanto, um PID.

Passo 2

Definimos o anel dos inteiros gaussianos como
\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Z}\}.
A norma N:\mathbb{Z}[i]\to\mathbb{N} satisfaz:
N(a+bi)=a^2+b^2,\quad N(z)=0\iff z=0,
e além disso, para quaisquer z,w\in\mathbb{Z}[i],
N(zw)=N(z)\,N(w).

Passo 3

Dado \alpha,\beta\in\mathbb{Z}[i] com \beta\neq 0, consideramos o quociente em \mathbb{C} \gamma=\alpha/\beta. Escolhemos um q=m+ni\in\mathbb{Z}[i] de modo que a parte real de \gamma fique a menos de 1/2 de m e a parte imaginária a menos de 1/2 de n. Definimos então o resto
r=\alpha-\beta q.

Passo 4

Pela escolha de q, vale
|\gamma-q|\le\frac{\sqrt{2}}{2}.
Logo,
N(r)=|r|^2=|\beta|^2\,|\gamma-q|^2<|\beta|^2=N(\beta),
o que estabelece o algoritmo de divisão com resto menor em norma.

Passo 5

Como para todo par \alpha,\beta com \beta\neq0 podemos escrever \alpha=\beta q+r com N(r)<N(\beta), \mathbb{Z}[i] é domínio euclidiano. Portanto, é domínio de ideais principal.

Resposta

\mathbb{Z}[i] é um domínio principal.

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