Encontre o MDC de 3+4 i e 2-i em \mathbb{Z}[i].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \gcd(3+4i,\;2-i) em \mathbb{Z}[i]. Como \mathbb{Z}[i] é um domínio euclidiano com a função norma
N(a+bi)=a^2+b^2,
vamos aplicar o algoritmo de Euclides usando N para fazer divisões com resto.

Passo 2

Calculamos as normas:
N(3+4i)=3^2+4^2=25, \quad N(2-i)=2^2+(-1)^2=5.
Como N(2-i)<N(3+4i), dividimos 3+4i por 2-i:
\frac{3+4i}{2-i} =\frac{(3+4i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} =\frac{2+11i}{5} =0,4+2,2i.
O quociente aproximado em \mathbb{Z}[i] mais próximo de 0,4+2,2i é q=2i.

Passo 3

Encontramos o resto:
r=(3+4i)-q\cdot(2-i) =3+4i-2i(2-i) =3+4i-(4i-2i^2) =3+4i-(4i+2) =1.
Como r=1\neq0, continuamos dividindo 2-i por 1, o que gera resto zero.

Passo 4

No algoritmo de Euclides, o último resto não nulo é o \gcd. Aqui, esse resto é 1.

Resposta

\displaystyle \gcd(3+4i,\;2-i)=1

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