Seja R um domínio principal. Mostre que \operatorname{MDC}(a, b) \cdot \operatorname{MMC}(a, b) é associado à a \cdot b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um domínio principal R, o produto do máximo divisor comum de a,b pelo mínimo múltiplo comum de a,b é associado ao produto a\cdot b. Vamos usar o fato de que todo domínio principal é um UFD (domínio de fatoração única) e trabalhar com fatorizações em irreduzíveis.

Passo 2

Como R é UFD, escrevemos as fatorações em irreduzíveis (primos) de a e b:
a = u\;\prod_{i} p_i^{\alpha_i}, \quad b = v\;\prod_{i} p_i^{\beta_i},
onde u,v são unidades de R, cada p_i é irreduzível, e \alpha_i,\beta_i\in\mathbb{N}\cup\{0\}.

Passo 3

Em UFD, temos as fórmulas
\gcd(a,b) = d = u'\;\prod_{i} p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}, \quad \mathrm{lcm}(a,b) = m = v'\;\prod_{i} p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)},
onde u' e v' são unidades. Ao multiplicar d por m, os expoentes se somam:
d\cdot m = (u'v')\;\prod_{i} p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)+\max(\alpha_i,\beta_i)} = (u'v')\;\prod_{i} p_i^{\alpha_i+\beta_i}.

Passo 4

Por outro lado,
a\cdot b = (u\,v)\;\prod_{i} p_i^{\alpha_i+\beta_i}.
Comparando, vemos que d\cdot m difere de a\cdot b apenas por uma unidade de R. Logo,
\gcd(a,b)\;\mathrm{lcm}(a,b) \quad\text{é associado a}\quad a\;b.é

Resposta

Em todo domínio principal R,
\gcd(a,b)\;\mathrm{lcm}(a,b)
é associado a a\;b.

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