Encontre todas as soluções das seguintes EDO’s;
t^{2} u^{\prime}+u^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre todas as soluções da EDO
t^{2}u'(t)+u(t)^{2}=1.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A equação é uma EDO de primeira ordem para a função u(t).
  • O coeficiente multiplicando u' é t^{2}, portanto a equação não está definida em t=0. Logo as soluções serão procuradas em intervalos onde t\neq 0.
  • O objetivo é obter a família geral de soluções (com constante arbitrária) e não foi dado valor inicial.

Passo 2

Isolando u' para ver a equação de forma mais clara:
t^{2}u' = 1 - u^{2}
e portanto
u' = \frac{1-u^{2}}{t^{2}}.
Agora reescrevo a equação de forma a separar as variáveis u e t: passo todos os termos em u para um lado e os termos em t para o outro:
\frac{du}{1-u^{2}} = \frac{dt}{t^{2}}.
Isto é a separação de variáveis: lado esquerdo depende só de u, lado direito só de t. Podemos integrar ambos os lados.

Passo 3

Calculo a integral do lado esquerdo. Uso decomposição em frações parciais:
\frac{1}{1-u^{2}}=\frac{1}{(1-u)(1+u)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u}\right).
Integrando:
\int\frac{du}{1-u^{2}}=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u}\right)du.
Agora cada parcela:
\int\frac{du}{1-u}=-\ln|1-u|,\qquad \int\frac{du}{1+u}=\ln|1+u|.
Portanto a integral completa é
\int\frac{du}{1-u^{2}}=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right|+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 4

Integro o lado direito:
\int\frac{dt}{t^{2}}=\int t^{-2}dt=-\frac{1}{t}+C_{2}.
Igualando as duas integrais (podemos juntar as constantes numa única constante C):
\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right|=-\frac{1}{t}+C.
Multiplicando por 2 e exponenciando:
\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right|=-\frac{2}{t}+2C
\left|\frac{1+u}{1-u}\right|=A e^{-2/t},
onde A=e^{2C}>0. Removendo o valor absoluto (permitindo a constante de sinal), escrevo a forma mais geral com uma constante real não nula K:
\frac{1+u}{1-u}=K e^{-2/t},\qquad K\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 5

Resolvo explicitamente em u. Multiplicando e agrupando termos:
1+u = (1-u)K e^{-2/t}
1+u = K e^{-2/t} - K e^{-2/t} u
u + K e^{-2/t} u = K e^{-2/t} - 1
u\bigl(1 + K e^{-2/t}\bigr) = K e^{-2/t} - 1.
Assim, quando 1 + K e^{-2/t}\neq 0, temos
u(t)=\frac{K e^{-2/t}-1}{K e^{-2/t}+1}.
Essa é a família explícita de soluções com parâmetro K. Observações importantes:
  • As soluções constantes u(t)\equiv 1 e u(t)\equiv -1 também satisfazem a EDO (verifique substituindo na equação). Elas aparecem como casos-limite da fórmula acima quando K\to\infty (para u\equiv 1) ou K\to 0 (para u\equiv -1).
  • A expressão exige t\neq 0 (pois a EDO não é definida em t=0). Além disso, se para algum t ocorrer K e^{-2/t}=-1, a expressão tem denominação zero e a solução não está definida nesse ponto; isto significa que a solução explícita pode ter singularidade vertical para certos K (isso só ocorre se K<0, pois e^{-2/t}>0).
  • Alternativamente, a solução implícita/compacta é
\operatorname{arctanh}(u)=-\frac{1}{t}+C,
ou em função hiperbólica real (para valores onde |u|<1):
u(t)=\operatorname{tanh}\!\bigl(C-\tfrac{1}{t}\bigr).

Resposta

u(t)=\frac{K e^{-2/t}-1}{K e^{-2/t}+1},\qquad K\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\\ \text{definida para }t\neq 0\text{ e }K e^{-2/t}\neq -1
u(t)\equiv 1
u(t)\equiv -1

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