Resolvo explicitamente em u. Multiplicando e agrupando termos:
1+u = (1-u)K e^{-2/t}
1+u = K e^{-2/t} - K e^{-2/t} u
u + K e^{-2/t} u = K e^{-2/t} - 1
u\bigl(1 + K e^{-2/t}\bigr) = K e^{-2/t} - 1.
Assim, quando 1 + K e^{-2/t}\neq 0, temos
u(t)=\frac{K e^{-2/t}-1}{K e^{-2/t}+1}.
Essa é a família explícita de soluções com parâmetro K. Observações importantes:
As soluções constantes u(t)\equiv 1 e u(t)\equiv -1 também satisfazem a EDO (verifique substituindo na equação). Elas aparecem como casos-limite da fórmula acima quando K\to\infty (para u\equiv 1) ou K\to 0 (para u\equiv -1).
A expressão exige t\neq 0 (pois a EDO não é definida em t=0). Além disso, se para algum t ocorrer K e^{-2/t}=-1, a expressão tem denominação zero e a solução não está definida nesse ponto; isto significa que a solução explícita pode ter singularidade vertical para certos K (isso só ocorre se K<0, pois e^{-2/t}>0).
Alternativamente, a solução implícita/compacta é
\operatorname{arctanh}(u)=-\frac{1}{t}+C,
ou em função hiperbólica real (para valores onde |u|<1):