Determine os pontos (t0, y0) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial
l d yd t=f(t, y) y(t0)=y0 tem uma única solução.
(c) Se f(t, y)=\sqrt{t y}

Passo 1

O enunciado pede os pontos
tem existência e unicidade de solução garantidas pelo Teorema de Picard– Lindel"of, isto \u00e9, precisamos de cont\u00ednuas num ret^angulo em torno de .

Passo 2

Para f(t,y)=raizt,y a função só é real quando
t,y >= 0
Logo o domínio natural de f é
D=(t,y)mid t,y>=0
Em qualquer ponto de D a função f é contínua (pois a raiz quadrada é contínua no argumento não-negativo).

Passo 3

Calculemos a derivada parcial de f em relação a y:
partial fpartial y =partialpartial yl(t,yr)^1/2 =12(t,y)^-1/2cdot t =t2raizt,y =12,raizty
Para que esta expressão exista e seja contínua num entorno de l(t0,y0r) é necessário e suficiente que t0y0>0, pois só assim raizt,y não se anula nem no numerador nem no denominador, evitando a singularidade.

Passo 4

Resumindo, para garantirmos que f e partial f/partial y são contínuas num retângulo contendo l(t0,y0r), devemos escolher pontos estritamente no interior de cada ramo do domínio, isto é:
t0,y0>0
Isso significa ou
t0>0e y0>0,
ou
t0<0e y0<0

Resposta

O problema de valor inicial tem solução única garantida sempre que
t0,y0>0,
isto é, nos pontos (t0,y0) com ambos positivos ou ambos negativos.

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