Determine os pontos
para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial
tem uma única solução.
(c) Se f(t, y)=\sqrt{t y}
Passo 1
O enunciado pede os pontos
tem existência e unicidade de solução garantidas pelo Teorema de Picard– Lindel"of, isto \u00e9, precisamos de cont\u00ednuas num ret^angulo em torno de
.
Passo 2
Para
a função só é real quando
Logo o domínio natural de
é
Em qualquer ponto de
a função
é contínua (pois a raiz quadrada é contínua no argumento não-negativo).
Passo 3
Calculemos a derivada parcial de
em relação a
:
Para que esta expressão exista e seja contínua num entorno de
é necessário e suficiente que
, pois só assim
não se anula nem no numerador nem no denominador, evitando a singularidade.
Passo 4
Resumindo, para garantirmos que
e
são contínuas num retângulo contendo
, devemos escolher pontos estritamente no interior de cada ramo do domínio, isto é:
Isso significa ou
ou
Resposta
O problema de valor inicial tem solução única garantida sempre que
isto é, nos pontos
com ambos positivos ou ambos negativos.