[7] Transforme as equações polares para cartesianas:
r^2=4 cos 2 theta

Passo 1

O enunciado pede para converter a equação polar r^2 = 4cos 2theta para coordenadas cartesianas. O conteúdo envolvido é mudança de sistema polares para cartesianas usando as relações r, theta e identidades trigonométricas.

Passo 2

Em polares temos as relações r^2 = x^2+y^2, costheta = x/r e sintheta = y/r. Vamos usar também a identidade trigonométrica de ângulo duplo: cos 2theta = cos^2theta - sin^2theta.

Passo 3

Substituindo costheta = x/r e sintheta = y/r em cos 2theta obtemos:
cos 2theta = x^2r^2 - y^2r^2 = x^2 - y^2r^2

Passo 4

Agora, na equação dada r^2 = 4cos 2theta, substituímos o valor de cos 2theta:
r^2 = 4cdot x^2 - y^2r^2
Multiplicando ambos os lados por r^2 para eliminar o denominador, vem:
(r^2)^2 = 4(x^2 - y^2)

Passo 5

Por fim, usando r^2 = x^2 + y^2 na expressão acima, chegamos à forma cartesiana:
(x^2 + y^2)^2 = 4,(x^2 - y^2)

Resposta

(x^2 + y2)2 = 4 (x^2 - y^2)

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