Calcule a derivada das seguintes funções:

Passo 1

Temos a função f(x)=integralraizx^2raizxsin(t^2),dt. O conteúdo é derivada de integral definida com limites que dependem de x, e vamos usar a regra de Leibniz:
ddxintegralu(x)^v(x)g(t),dt = gl(v(x)r),v'(x) - gl(u(x)r),u'(x)

Passo 2

Identificamos os limites e a função interna:
u(x)=raizx, v(x)=2raizx, g(t)=sinl(t^2r)
Agora calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=12raizx, v'(x)=1raizx

Passo 3

Calculamos g nos limites:
gl(u(x)r)=sinl((raizx)^2r)=sin(x), gl(v(x)r)=sinl((2raizx)^2r)=sin(4x)

Passo 4

Aplicamos a regra de Leibniz e simplificamos:
f'(x)=sin(4x)cdot1raizx-sin(x)cdot12raizx=sin(4x)-12sin(x)raizx

Resposta

f'(x)=sin(4x)-tfrac12sin(x)raizx

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