Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral1^infty d xx^alpha, alpha>0

Passo 1

A integral em questão é uma integral imprópria do tipo
integral1^infty x^-alpha ,dx com parâmetro alpha>0. Vamos usar o teste de p-integral (ou p-test) para decidir convergência e calcular o valor quando houver convergência.

Passo 2

Para lidar com o caráter impróprio no infinito, reescrevemos a integral como limite:
integral1^infty x^-alpha ,dx = limbtoinfty integral1^b x^-alpha ,dx

Passo 3

Precisamos de duas situações para o antiderivado de x^-alpha:
  • Se alphaneq1, temos integral x^-alpha ,dx = x^-alpha+1-alpha+1
  • Se alpha=1, o antiderivado é integral x^-1 ,dx = ln(x)

Passo 4

Avaliação do caso alphaneq1:
integral1^b x^-alpha ,dx = [ x^1-alpha1-alpha ]1^b = b^1-alpha-11-alpha
Agora analisamos o limite quando btoinfty:
  • Se 1-alpha<0 (isto é, alpha>1), então b^1-alphato0 e a integral converge para 0-11-alpha = 1alpha-1
  • Se 1-alpha>0 (isto é, 0), então b^1-alphatoinfty e a integral diverge.

Passo 5

Avaliação do caso alpha=1:
integral1^b x^-1 ,dx = [ln(x)]1^b = ln(b)-ln(1) = ln(b)
Como ln(b)toinfty quando btoinfty, diverge.

Passo 6

Conclusão sobre convergência e convergência absoluta: como o integrando x^-alpha é sempre não-negativo, toda integral que converge também é absolutamente convergente. Somente converge para alpha>1, com valor finito.

Passo 7

Resposta final resumida:

Resposta

A integral integral1^infty x^-alpha ,dx converge se, e somente se, alpha>1, e nesse caso vale
$$\int_{1}^{\infty} x^{-\alpha} ,dx = \frac{1}{\alpha-1}.
$$
Como o integrando é não-negativo, toda integral convergente é também absolutamente convergente. Para integral1^infty x^-alpha ,dx = 1alpha-1 , a integral diverge.

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