Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
A integral em questão é uma integral imprópria do tipo
Passo 2
Para lidar com o caráter impróprio no infinito, reescrevemos a integral como limite:
Passo 3
Precisamos de duas situações para o antiderivado de
:
- Se
, temos - Se
, o antiderivado é
Passo 4
Avaliação do caso
:
Agora analisamos o limite quando
:
- Se
(isto é, ), então e a integral converge para - Se
(isto é, ), então e a integral diverge.
Passo 5
Avaliação do caso
:
Como
quando
, diverge.
Passo 6
Conclusão sobre convergência e convergência absoluta: como o integrando
é sempre não-negativo, toda integral que converge também é absolutamente convergente. Somente converge para
, com valor finito.
Passo 7
Resposta final resumida:
Resposta
A integral
converge se, e somente se,
, e nesse caso vale
$$\int_{1}^{\infty} x^{-\alpha} ,dx = \frac{1}{\alpha-1}.
$$
Como o integrando é não-negativo, toda integral convergente é também absolutamente convergente. Para , a integral diverge.
Como o integrando é não-negativo, toda integral convergente é também absolutamente convergente. Para