Considere a função f: R (1,+infty) dada por f(x)=raize^2 x+1.
a) Mostre que a derivada de f satisfaz f^prime(x)=e^2 xf(x).
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0 .

Passo 1

Na questão, temos a função f: ℝ→(1,+∞) dada por f(x)=√(e^{2x}+1). O objetivo é a) mostrar que f′(x)=e^{2x}/f(x) e b) determinar a reta tangente ao gráfico de f em x=0. Vamos usar regra da cadeia para derivar e, depois, a forma da reta y=mx+b para o tangente.

Passo 2

Para derivar f(x)= (e{2x}+1){1/2}, aplicamos a regra da cadeia. Primeiro derivamos a potência 1/2 e, em seguida, o interior e^{2x}+1:
f'(x)=12,(e^2x+1)^-1/2;cdot;2e^2x=e^2xraize^2x+1
Como √(e^{2x}+1)=f(x), concluímos que f′(x)=e^{2x}/f(x).

Passo 3

Agora avaliamos em x=0: temos f(0)=√(e^0+1)=√2 e f′(0)=e^0/√2=1/√2. A reta tangente em x=0 satisfaz y−f(0)=f′(0)(x−0), ou seja:
y-raiz2=1raiz2,xLongrightarrow y=1raiz2,x+raiz2

Resposta

y = \frac{1}{\sqrt{2}} x + \sqrt{2}

Exercícios relacionados