Considere a função
dada por
.
a) Mostre que a derivada de
satisfaz
.
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa 0 .
a) Mostre que a derivada de
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Na questão, temos a função f: ℝ→(1,+∞) dada por f(x)=√(e^{2x}+1). O objetivo é a) mostrar que f′(x)=e^{2x}/f(x) e b) determinar a reta tangente ao gráfico de f em x=0. Vamos usar regra da cadeia para derivar e, depois, a forma da reta y=mx+b para o tangente.
Passo 2
Para derivar f(x)= (e{2x}+1){1/2}, aplicamos a regra da cadeia. Primeiro derivamos a potência 1/2 e, em seguida, o interior e^{2x}+1:
Como √(e^{2x}+1)=f(x), concluímos que f′(x)=e^{2x}/f(x).
Passo 3
Agora avaliamos em x=0: temos f(0)=√(e^0+1)=√2 e f′(0)=e^0/√2=1/√2. A reta tangente em x=0 satisfaz y−f(0)=f′(0)(x−0), ou seja:
Resposta
y = \frac{1}{\sqrt{2}} x + \sqrt{2}