Considere a função dada por f(x)=1ln (2 x+1).
Valor: 5 pontos
a) Determine o domínio de f.
b) Determine a expressão da função inversa f^-1 de f.

Passo 1

Temos a função f(x)=1ln(2x+1). O conteúdo é logaritmos e inversão de função, e precisamos achar o domínio de f e depois a expressão de f^-1.

Passo 2

Para o domínio, impomos duas condições: (i) o argumento do logaritmo deve ser positivo: 2x+1>0, o que dá x>-tfrac12; (ii) o logaritmo não pode ser zero, pois aparece no denominador: ln(2x+1)neq0, logo 2x+1neq1 e xneq0. Com isso, o domínio é (-tfrac12,0)cup(0,infty).

Passo 3

Para achar a inversa, escrevemos y=tfrac1ln(2x+1). Invertendo, temos ln(2x+1)=tfrac1y. Então
2x+1=e^1/yLongrightarrow x=e^1/y-12

Passo 4

Assim, a função inversa é f^-1(y)=tfrace^1/y-12. Observando que y não pode ser zero, o domínio de f^-1 é Rsetminus0, que coincide com a imagem de f.

Resposta

a) Domínio de f: (-tfrac12,0)cup(0,infty).
b) f^-1(x)=dfrace^1/x-12, com domínio xneq0.

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