4.70: Considere as bases de R^3: alpha=v1, v2, v3 e beta=w1, w2, w3 com w1=v1+v3, w2=v1+v2+v3 e w3=v1-v3. Determine a matriz mudança de base [I]alpha beta.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3,
alpha=v1,v2,v3 e
beta=w1,w2,w3,
com as relações
w1=v1+v3,
w2=v1+v2+v3 e
w3=v1-v3.
Queremos a matriz de mudança de base [I]alphabeta, isto é, a matriz cujas colunas são as coordenadas de cada wj na base alpha.

Passo 2

Expressamos cada wj em coordenadas na base alpha:
  • Como w1=v1+v3, seus coeficientes em alpha são (1,0,1).
  • Como w2=v1+v2+v3, seus coeficientes em alpha são (1,1,1).
  • Como w3=v1-v3, seus coeficientes em alpha são (1,0,-1).

Passo 3

Montamos a matriz [I]alphabeta colocando essas coordenadas como colunas, na ordem w1,w2,w3.

Resposta

[I]alphabeta = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 1 & -1

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