2.70 Ar expande adiabaticamente em um conjunto pistão-cilindro de um estado inicial em que p_{1}=100 \mathrm{lbf} / \mathrm{in} 2, \mathrm{y}_{1}=3,704 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{lb} \mathrm{e} T_{1}=1000^{\circ} \mathrm{R} para um estado final em que p_{2}=50 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}. O processo é politrópico, com n=1,4. A variação na energia interna específica, em Btu/lb, pode ser expressa em termos de variação de temperatura como \Delta u=(0,171)\left(T_{2}-T_{1}\right). Determine a temperatura final, em { }^{\circ} \mathrm{R}. Os efeitos de energia cinética e potencial podem ser negligenciados.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa só. Vou listar tudo de forma bem clara (peguei todos os números do enunciado):
Dados fornecidos:
  • Pressão inicial: P_{1}=100\\ \mathrm{lbf/in}^{2}.
  • Pressão final: P_{2}=50\\ \mathrm{lbf/in}^{2}.
  • Volume específico inicial: v_{1}=3{,}704\\ \mathrm{ft}^{3}/\mathrm{lb}.
  • Temperatura inicial: T_{1}=1000^\circ\mathrm{R}.
  • Processo politrópico com expoente n=1{,}4.
  • Relação para a variação de energia interna (informação dada): \Delta u=(0{,}171)\left(T_{2}-T_{1}\right) (Btu/lb).
  • Despreza-se energia cinética e potencial.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a temperatura final T_{2} em ^\circ\mathrm{R}.

Passo 2

Principais relações que usaremos (explicando cada símbolo com calma):
  1. Lei dos gases ideais (por unidade de massa):
P\,v = R\,T,
onde
  • P é a pressão (força por área),
  • v é o volume específico (volume por unidade de massa),
  • R é a constante específica do gás (para o ar, em unidades adequadas),
  • T é a temperatura absoluta.
  1. Relação politrópica do enunciado:
P\,v^{n}=\text{constante},
onde n é o expoente politrópico dado ( n=1{,}4). Essa relação vale entre os estados inicial e final:
P_{1}\,v_{1}^{n}=P_{2}\,v_{2}^{n}.
Comentário didático rápido: não é necessário converter as unidades de pressão para outras unidades se trabalhar com razões de pressões (porque a razão P_{2}/P_{1} é adimensional). No entanto, se formos usar explicitamente a equação dos gases com R precisamos usar unidades coerentes. Vou inicialmente obter T_2 usando uma relação entre T,P e n que evita ter de usar R numericamente, e depois faço uma verificação calculando v_2 e usando R para confirmar.

Passo 3

Derivar uma relação direta entre T_2 e T_1 a partir de P v^{n}= constante e P v=R T.
Começo escrevendo a razão das duas temperaturas usando P v=R T:
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{P_{2}v_{2}}{P_{1}v_{1}}.
Da politrópica temos
\frac{P_{1}}{P_{2}}=\left(\frac{v_{2}}{v_{1}}\right)^{n} \quad\Rightarrow\quad \frac{v_{2}}{v_{1}}=\left(\frac{P_{1}}{P_{2}}\right)^{1/n}.
Substituindo essa expressão em \dfrac{T_{2}}{T_{1}}:
\frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{P_{2}}{P_{1}}\cdot\frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{P_{2}}{P_{1}}\left(\frac{P_{1}}{P_{2}}\right)^{1/n} = \left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{1-1/n}.
Portanto a relação útil para calcular T_{2} é
T_{2}=T_{1}\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\,1-1/n}.
Explicando o raciocínio: escrevemos T em termos de P e v e usamos a relação politrópica para eliminar v. Isso evita ter de usar o valor numérico de R e qualquer conversão de unidades de pressão.

Passo 4

Aplicar a fórmula com os números dados.
Calcular o expoente:
1-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{1{,}4}=1-\frac{5}{7}=\frac{2}{7}\approx0{,}285714.
A razão de pressões é
\frac{P_{2}}{P_{1}}=\frac{50}{100}=0{,}5.
Então
T_{2}=1000^\circ\mathrm{R}\times(0{,}5)^{2/7}.
Agora calcular numericamente (0{,}5)^{2/7}. Usando logaritmo/exponencial ou cálculo direto:
(0{,}5)^{2/7}\approx e^{(2/7)\ln(0{,}5)}\approx e^{(0{,}285714)(-0{,}693147)}\approx e^{-0{,}198042}\approx0{,}82034.
Portanto
T_{2}\approx1000\times0{,}82034\approx820{,}34^\circ\mathrm{R}.

Passo 5

Calculo de v_{2} e uso da lei dos gases para confirmar (não é necessário, mas ajuda a checar o resultado):
Da politrópica:
v_{2}=v_{1}\left(\frac{P_{1}}{P_{2}}\right)^{1/n} =3{,}704\left(2\right)^{1/1{,}4}.
Como 1/1{,}4=5/7, tem-se 2^{5/7}\approx1{,}640, logo
v_{2}\approx3{,}704\times1{,}640\approx6{,}075\\ \mathrm{ft}^{3}/\mathrm{lb}.
Usando a equação dos gases para o ar com R\approx53{,}35\\ \mathrm{ft\cdot lbf/(lb\cdot ^\circ R)}:
converter P_{2}=50\\ \mathrm{lbf/in}^{2} para \mathrm{lbf/ft}^{2}: 50\times144=7200\\ \mathrm{lbf/ft}^{2}.
Então
T_{2}=\frac{P_{2}v_{2}}{R}\approx\frac{7200\times6{,}075}{53{,}35}\approx820{,}0^\circ\mathrm{R},
o que confirma o valor obtido anteriormente (diferenças de arredondamento pequenas).

Resposta

T_{2}\approx820{,}3^\circ\mathrm{R}

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