2.70 Ar expande adiabaticamente em um conjunto pistão-cilindro de um estado inicial em que
para um estado final em que
. O processo é politrópico, com
. A variação na energia interna específica, em Btu/lb, pode ser expressa em termos de variação de temperatura como
. Determine a temperatura final, em
. Os efeitos de energia cinética e potencial podem ser negligenciados.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa só. Vou listar tudo de forma bem clara (peguei todos os números do enunciado):
Dados fornecidos:
- Pressão inicial:
. - Pressão final:
. - Volume específico inicial:
. - Temperatura inicial:
. - Processo politrópico com expoente
. - Relação para a variação de energia interna (informação dada):
(Btu/lb). - Despreza-se energia cinética e potencial.
O que o enunciado pede:
- Determinar a temperatura final
em .
Passo 2
Principais relações que usaremos (explicando cada símbolo com calma):
- Lei dos gases ideais (por unidade de massa):
onde
-
é a pressão (força por área), -
é o volume específico (volume por unidade de massa), -
é a constante específica do gás (para o ar, em unidades adequadas), -
é a temperatura absoluta.
- Relação politrópica do enunciado:
onde
é o expoente politrópico dado (
). Essa relação vale entre os estados inicial e final:
Comentário didático rápido: não é necessário converter as unidades de pressão para outras unidades se trabalhar com razões de pressões (porque a razão
é adimensional). No entanto, se formos usar explicitamente a equação dos gases com
precisamos usar unidades coerentes. Vou inicialmente obter
usando uma relação entre
e
que evita ter de usar
numericamente, e depois faço uma verificação calculando
e usando
para confirmar.
Passo 3
Derivar uma relação direta entre
e
a partir de
constante e
.
Começo escrevendo a razão das duas temperaturas usando
:
Da politrópica temos
Substituindo essa expressão em
:
Portanto a relação útil para calcular
é
Explicando o raciocínio: escrevemos
em termos de
e
e usamos a relação politrópica para eliminar
. Isso evita ter de usar o valor numérico de
e qualquer conversão de unidades de pressão.
Passo 4
Aplicar a fórmula com os números dados.
Calcular o expoente:
A razão de pressões é
Então
Agora calcular numericamente
. Usando logaritmo/exponencial ou cálculo direto:
Portanto
Passo 5
Calculo de
e uso da lei dos gases para confirmar (não é necessário, mas ajuda a checar o resultado):
Da politrópica:
Como
, tem-se
, logo
Usando a equação dos gases para o ar com
:
converter para
:
.
Então
converter
Então
o que confirma o valor obtido anteriormente (diferenças de arredondamento pequenas).