Investigue a continuidade das funções abaixo, ou seja, determine os pontos ou intervalos onde elas sejam contínuas ou descontínuas, explicando porque. Depois faça os respectivos gráficos, utilizando o programa winplot. f(x)=|x-5|
Passo 1
O enunciado pede que eu investigue a continuidade da função f e depois faça o gráfico no winplot. A função dada é
f(x)=|x-5|.
O que é pedido, explicitamente:
Determinar os pontos (ou intervalos) onde f é contínua ou descontínua, explicando por quê.
Fazer o gráfico de f (usar winplot).
Informações relevantes fornecidas:
A função é a função valor absoluto deslocada em 5 para a direita, isto é, f(x)=|x-5|.
Passo 2
Lembrete do conceito essencial: definição de continuidade num ponto.
Uma função g é contínua em um ponto a se e só se os três itens abaixo são verdadeiros:
g(a) está definido.
\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) existe.
\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=g(a).
Explicando em palavras: ao nos aproximarmos de a pelos dois lados, os valores de g(x) devem tender a um único número, e esse número tem que ser exatamente g(a). Se isso valer para todo a em algum intervalo, dizemos que g é contínua nesse intervalo.
Passo 3
Reescrever [f) de forma que fique fácil trabalhar com limites e continuidade: usar a definição por partes do valor absoluto.
(Na prática podemos escrever só as duas expressões lineares e entender que em x=5\] ambas valem \(0.)]
Passo 4
Continuidade para pontos a<5 (à esquerda de 5).
Se a<5, em algum intervalo aberto contendo a (por exemplo (a- \delta, a+\delta) suficientemente pequeno) vale x<5 para todos os x desse intervalo. Nessa região a função é dada por
f(x)=5-x,
que é uma função linear (polinomial de grau 1) na variável x.
Fato importante e usado constantemente: polinômios (e funções lineares) são contínuos em todo o \mathbb{R}. Assim, para qualquer a<5 a função tem limite \lim_{x\to a}f(x)=5-a e f(a)=5-a, então f é contínua em todo a<5.
Passo 5
Continuidade para pontos a>5 (à direita de 5).
Se a>5, de modo análogo existe um intervalo em torno de a onde x>5 sempre, e aí
f(x)=x-5,
que também é linear. Como funções lineares são contínuas, concluímos que f é contínua em todo a>5.
Passo 6
Verificação da continuidade em a=5 (o ponto crítico).
Aqui precisamos checar os limites laterais em x=5 e comparar com f(5).
Calcule o limite pela direita:
\lim_{x\to5^+} f(x)=\lim_{x\to5^+}(x-5)=5-5=0.
Calcule o limite pela esquerda:
\lim_{x\to5^-} f(x)=\lim_{x\to5^-}(5-x)=5-5=0.
Ambos os limites laterais existem e são iguais a 0. Além disso, f(5)=|5-5|=0. Portanto
\lim_{x\to5} f(x)=0=f(5),
logo f é contínua também em x=5.
Passo 7
Argumento alternativo e muito prático (descomplicando com uma desigualdade):
Usando a propriedade do valor absoluto (desigualdade triangular), para quaisquer x,a\in\mathbb{R} vale
\bigl|\,|x-5|-|a-5|\,\bigr|\le |x-a|.
Essa desigualdade mostra que pequenas mudanças em x causam no máximo a mesma pequena mudança em f(x); a função é Lipschitz de constante 1. Para demonstrar continuidade em a via \varepsilon-\delta:
Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se |x-a|<\delta então
Isso prova diretamente que f é contínua em todo a\in\mathbb{R}. Esse é um argumento curto, robusto e útil em provas.
Passo 8
Outra observação conceitual (composição de funções):
Podemos escrever f(x)=\sqrt{(x-5)^2}. O polinômio x\mapsto (x-5)^2 é contínuo em \mathbb{R} e a função raiz quadrada t\mapsto\sqrt{t} é contínua para t\ge0. Composição de funções contínuas é contínua; portanto f é contínua em todo \mathbb{R}. Isso confirma novamente o resultado obtido acima.
Passo 9
Conclusão sobre continuidade (resumo didático e encorajador):
Juntando os passos anteriores: f é dada por linhas na esquerda e na direita e coincide nos dois lados em x=5. Pelas razões do Passo 4, Passo 5 e Passo 6 (ou pelos argumentos alternativos do Passo 7 e Passo 8), concluímos que f é contínua em todo o conjunto dos números reais; não há pontos de descontinuidade.
Você conseguiu! É normal ficar nervoso, mas aqui a função é uma das mais amigáveis: contínua em todo lugar.
Passo 10
Instruções práticas para fazer o gráfico no winplot (passo a passo):
Abra o winplot.
Para traçar a função inteira de uma vez, insira na lista de funções a expressão (método direto):\text{abs}(x-5)(Se a sua versão do winplot não aceitar \text{abs}, use a alternativa)\sqrt{(x-5)^2}.
Ajuste a janela de visualização para ver a “V” na posição correta. Um exemplo de janela útil:
x de -2 a 12,
y de -1 a 8.
Se preferir desenhar a função por partes (para ver que são duas retas com vértice em 5):
Adicione a função g_1(x)=5-x com domínio restrito a [-10,5].
Adicione a função g_2(x)=x-5 com domínio restrito a [5,10].
No winplot você pode limitar o domínio em cada função (procure a opção de “domain” ou use paramétricas se necessário).
Para destacar o ponto (5,0), adicione um ponto ou marcador em x=5, y=0.
Opcional: aumente a espessura da curva ou mude a cor para facilitar a leitura.
Dicas rápidas: o gráfico é uma letra “V” com vértice em (5,0), ramos com inclinação -1 à esquerda e +1 à direita. Isso ajuda a conferir se o que você desenhou está correto.