Investigue a continuidade das funções abaixo, ou seja, determine os pontos ou intervalos onde elas sejam contínuas ou descontínuas, explicando porque. Depois faça os respectivos gráficos, utilizando o programa winplot.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a continuidade da função
ou seja, identificar os pontos e intervalos onde
é contínua ou descontínua e explicar por quê. Também pede que se façam os gráficos (instruções de plotagem serão dadas).
Informações dadas:
- A função está explicitamente escrita como uma razão de dois polinômios: numerador
e denominador . - Não há outras informações (como figura) fornecidas.
O que precisamos fornecer:
- Domínio da função.
- Pontos/intervalos de continuidade e de descontinuidade, com justificativa.
- Caracterizar o tipo de descontinuidade (se for o caso).
- Indicar como traçar o gráfico no Winplot (instruções práticas e pontos úteis para o desenho).
Passo 2
Encontre o domínio (parada obrigatória antes de falar de continuidade).
A função é definida sempre que o denominador for diferente de zero. Então resolvemos
Logo o domínio é
Em palavras:
está definida para todo
real, exceto em
.
Passo 3
Lembrete rápido e aula curta sobre continuidade que vamos usar (sem jargões):
- Uma função
é contínua em um ponto se Ou seja, ao aproximar de , os valores de se aproximam do valor . - Polinômios são contínuos em todo
. - A razão de duas funções contínuas é contínua no ponto
sempre que o denominador tiver valor diferente de zero em . Assim, se e são polinômios, é contínua em todo com .
Aplicando isso aqui: como numerador e denominador são polinômios, a função
será contínua em todo ponto do domínio (onde
). Portanto todos os
são pontos de continuidade. Resta investigar
.
Passo 4
Verificação detalhada da continuidade em um ponto
(mostrando o raciocínio que vale na prova):
Se
, então
. Como
pelas regras de limites e continuidade de polinômios temos
Isso mostra diretamente que
é contínua em qualquer
tal que
.
Passo 5
Análise em
: tipos de descontinuidade e limites laterais.
Calcule o sinal do numerador em
:
Ou seja, perto de
o numerador está próximo de
(negativo e não nulo).
Agora observe o denominador
:
- Se
(pela esquerda), então é um número pequeno e negativo. - Se
(pela direita), então é um número pequeno e positivo.
Como o numerador é negativo próximo ao ponto, a razão terá comportamento:
- Para
: numerador negativo dividido por denominador negativo pequeno valor grande e positivo, isto é - Para
: numerador negativo dividido por denominador positivo pequeno valor grande e negativo, isto é
Os limites laterais não são finitos (tendem a infinito com sinais opostos), portanto
não existe como número finito e
não tem valor definido em
. Isso é uma descontinuidade do tipo infinita (também chamada de assíntota vertical) no ponto
. Conclusão:
é ponto de descontinuidade essencial/infinita.
Passo 6
Informação útil para o gráfico: assíntota horizontal e interceptos.
-
Assíntota horizontal: grau do numerador e denominador são iguais (ambos grau
), logo Portanto há uma assíntota horizontal. -
Interceptos e pontos para ajudar no traço:
- Intercepto em
(tomando ): Então passa por . - Intercepto em
: resolver . Então ponto . - Alguns valores para esboçar:
- Intercepto em
Esses pontos e as assíntotas bastam para um esboço fiel.
Passo 7
Como traçar o gráfico no Winplot (passo a passo prático):
- Abra o Winplot e vá em “Function…” (ou “Plot -> Function”).
- No campo da função escreva exatamente: (use a sintaxe do Winplot)
y=(2x-4)/(3x-2) - Para visualizar melhor a descontinuidade, trace também as retas:
- Vertical: x=2/3 (pode colocar como outra “function” tipo x=2/3 ou usar “Line” com equação).
- Horizontal: y=2/3.
- Ajuste a janela para ver bem a região em torno de
. Uma sugestão de janela: -
, .
-
- Observe que o Winplot normalmente exibirá a curva com uma quebra na assíntota vertical (se necessário, pode plotar a função em dois ramos: para
e para , ou simplesmente deixar o programa mostrar a descontinuidade). - Verifique os pontos destacados: peça para o cursor mostrar valores em
e para conferir.
Dica prática de esboço manual: desenhe primeiro as assíntotas
(vertical) e
(horizontal), marque
e
e faça os ramos da hipérbole aproximando-se das assíntotas (um ramo fica acima da assíntota vertical à esquerda, indo para
ao se aproximar de
; o outro ramo fica abaixo da assíntota vertical à direita, indo para
ao se aproximar de
).
Passo 8
Resumo explicativo final (para você entender na hora da prova):
- Racional simples, domínio retirando onde denominador zera.
- Em qualquer ponto do domínio a função é contínua porque é quociente de polinômios com denominador não nulo naquele ponto.
- Onde o denominador zera e o numerador não zera, há descontinuidade infinita (assíntota vertical). Aqui o numerador em
é , logo descontinuidade infinita. - Limites na vizinhança e assíntotas ajudam a desenhar o gráfico.
Força aí — com essa estrutura você consegue explicar isso direitinho na prova e traçar o gráfico no Winplot rapidinho.
Resposta
Contínua em
e em
.
Descontínua em ; a descontinuidade em
é infinita (assíntota vertical
).
Descontínua em