Investigue a continuidade das funções abaixo, ou seja, determine os pontos ou intervalos onde elas sejam contínuas ou descontínuas, explicando porque. Depois faça os respectivos gráficos, utilizando o programa winplot.
f(x)=\frac{2 x-4}{3 x-2}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a continuidade da função
f(x)=\frac{2x-4}{3x-2},
ou seja, identificar os pontos e intervalos onde f é contínua ou descontínua e explicar por quê. Também pede que se façam os gráficos (instruções de plotagem serão dadas).
Informações dadas:
  • A função está explicitamente escrita como uma razão de dois polinômios: numerador 2x-4 e denominador 3x-2.
  • Não há outras informações (como figura) fornecidas.
O que precisamos fornecer:
  • Domínio da função.
  • Pontos/intervalos de continuidade e de descontinuidade, com justificativa.
  • Caracterizar o tipo de descontinuidade (se for o caso).
  • Indicar como traçar o gráfico no Winplot (instruções práticas e pontos úteis para o desenho).

Passo 2

Encontre o domínio (parada obrigatória antes de falar de continuidade).
A função é definida sempre que o denominador for diferente de zero. Então resolvemos
3x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{2}{3}.
Logo o domínio é
\mathcal{D} = \mathbb{R}\setminus\left\{\frac{2}{3}\right\}.
Em palavras: f está definida para todo x real, exceto em x=\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Lembrete rápido e aula curta sobre continuidade que vamos usar (sem jargões):
  • Uma função g é contínua em um ponto a se \lim_{x\to a} g(x)=g(a).Ou seja, ao aproximar x de a, os valores de g(x) se aproximam do valor g(a).
  • Polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}.
  • A razão de duas funções contínuas é contínua no ponto a sempre que o denominador tiver valor diferente de zero em a. Assim, se p e q são polinômios, p/q é contínua em todo a com q(a)\neq0.
Aplicando isso aqui: como numerador e denominador são polinômios, a função \dfrac{2x-4}{3x-2} será contínua em todo ponto do domínio (onde 3x-2\neq0). Portanto todos os x\neq\tfrac{2}{3} são pontos de continuidade. Resta investigar x=\tfrac{2}{3}.

Passo 4

Verificação detalhada da continuidade em um ponto a\neq \tfrac{2}{3} (mostrando o raciocínio que vale na prova):
Se a\neq\tfrac{2}{3}, então 3a-2\neq0. Como
\lim_{x\to a}(2x-4)=2a-4,\qquad \lim_{x\to a}(3x-2)=3a-2\neq0,
pelas regras de limites e continuidade de polinômios temos
\lim_{x\to a}\frac{2x-4}{3x-2}=\frac{2a-4}{3a-2}=f(a).
Isso mostra diretamente que f é contínua em qualquer a\in\mathbb{R} tal que a\neq\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Análise em x=\tfrac{2}{3}: tipos de descontinuidade e limites laterais.
Calcule o sinal do numerador em x=\tfrac{2}{3}:
2\cdot\frac{2}{3}-4=\frac{4}{3}-4=\frac{4-12}{3}=-\frac{8}{3}<0.
Ou seja, perto de x=\tfrac{2}{3} o numerador está próximo de -\tfrac{8}{3} (negativo e não nulo).
Agora observe o denominador (3x-2):
  • Se x\to\left(\tfrac{2}{3}\right)^- (pela esquerda), então 3x-2 é um número pequeno e negativo.
  • Se x\to\left(\tfrac{2}{3}\right)^+ (pela direita), então 3x-2 é um número pequeno e positivo.
Como o numerador é negativo próximo ao ponto, a razão terá comportamento:
  • Para x\to\left(\tfrac{2}{3}\right)^-: numerador negativo dividido por denominador negativo pequeno \Rightarrow valor grande e positivo, isto é \lim_{x\to\left(\tfrac{2}{3}\right)^-} f(x)=+\infty.
  • Para x\to\left(\tfrac{2}{3}\right)^+: numerador negativo dividido por denominador positivo pequeno \Rightarrow valor grande e negativo, isto é \lim_{x\to\left(\tfrac{2}{3}\right)^+} f(x)=-\infty.
Os limites laterais não são finitos (tendem a infinito com sinais opostos), portanto \lim_{x\to \tfrac{2}{3}} f(x) não existe como número finito e f não tem valor definido em x=\tfrac{2}{3}. Isso é uma descontinuidade do tipo infinita (também chamada de assíntota vertical) no ponto x=\tfrac{2}{3}. Conclusão: x=\tfrac{2}{3} é ponto de descontinuidade essencial/infinita.

Passo 6

Informação útil para o gráfico: assíntota horizontal e interceptos.
  • Assíntota horizontal: grau do numerador e denominador são iguais (ambos grau 1), logo
    \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\frac{\text{coeficiente líder do numerador}}{\text{coeficiente líder do denominador}}=\frac{2}{3}.íí
    Portanto há uma assíntota horizontal y=\tfrac{2}{3}.
  • Interceptos e pontos para ajudar no traço:
    • Intercepto em y (tomando x=0): f(0)=\frac{2\cdot0-4}{3\cdot0-2}=\frac{-4}{-2}=2.Então passa por (0,2).
    • Intercepto em x: resolver 2x-4=0\Rightarrow x=2. Então ponto (2,0).
    • Alguns valores para esboçar: f(1)=\frac{2-4}{3-2}=-2,\qquad f(-1)=\frac{-2-4}{-3-2}=\frac{-6}{-5}=\frac{6}{5}=1{,}2.
Esses pontos e as assíntotas bastam para um esboço fiel.

Passo 7

Como traçar o gráfico no Winplot (passo a passo prático):
  1. Abra o Winplot e vá em “Function…” (ou “Plot -> Function”).
  2. No campo da função escreva exatamente: (use a sintaxe do Winplot)
    y=(2x-4)/(3x-2)
  3. Para visualizar melhor a descontinuidade, trace também as retas:
    • Vertical: x=2/3 (pode colocar como outra “function” tipo x=2/3 ou usar “Line” com equação).
    • Horizontal: y=2/3.
  4. Ajuste a janela para ver bem a região em torno de x=\tfrac{2}{3}. Uma sugestão de janela:
    • x\in[-5,5], y\in[-10,10].
  5. Observe que o Winplot normalmente exibirá a curva com uma quebra na assíntota vertical (se necessário, pode plotar a função em dois ramos: para x<0,66 e para x>0,66, ou simplesmente deixar o programa mostrar a descontinuidade).
  6. Verifique os pontos destacados: peça para o cursor mostrar valores em (0,2) e (2,0) para conferir.
Dica prática de esboço manual: desenhe primeiro as assíntotas x=\tfrac{2}{3} (vertical) e y=\tfrac{2}{3} (horizontal), marque (0,2) e (2,0) e faça os ramos da hipérbole aproximando-se das assíntotas (um ramo fica acima da assíntota vertical à esquerda, indo para +\infty ao se aproximar de x=\tfrac{2}{3}^-; o outro ramo fica abaixo da assíntota vertical à direita, indo para -\infty ao se aproximar de x=\tfrac{2}{3}^+).

Passo 8

Resumo explicativo final (para você entender na hora da prova):
  • Racional simples, domínio retirando onde denominador zera.
  • Em qualquer ponto do domínio a função é contínua porque é quociente de polinômios com denominador não nulo naquele ponto.
  • Onde o denominador zera e o numerador não zera, há descontinuidade infinita (assíntota vertical). Aqui o numerador em x=\tfrac{2}{3} é -\tfrac{8}{3}\neq0, logo descontinuidade infinita.
  • Limites na vizinhança e assíntotas ajudam a desenhar o gráfico.
Força aí — com essa estrutura você consegue explicar isso direitinho na prova e traçar o gráfico no Winplot rapidinho.

Resposta

Contínua em \left(-\infty,\tfrac{2}{3}\right) e em \left(\tfrac{2}{3},\infty\right).
Descontínua em \left\{\tfrac{2}{3}\right\}; a descontinuidade em x=\tfrac{2}{3} é infinita (assíntota vertical x=\tfrac{2}{3}).

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