(q.710/p.250) Determine a área de um círculo obtido da seção plana de uma esfera, sendo o raio da esfera r e 15 cm a distância desse plano ao centro da esfera.

Passo 1

O enunciado nos dá uma esfera de raio r e um plano que corta essa esfera a uma distância de 15 cm do centro. A seção plana é um círculo cujo raio precisamos determinar. O conteúdo envolve geometria espacial e o uso do Teorema de Pitágoras em um triângulo que liga o centro da esfera, um ponto da seção e a projeção desse ponto no plano.

Passo 2

Seja \rho o raio do círculo de interseção. Considere o triângulo retângulo em que a hipotenusa é o raio da esfera r, um cateto é a distância do centro ao plano 15 e o outro cateto é \rho.

Passo 3

Pelo Teorema de Pitágoras temos
\rho^2 \;=\; r^2 \;-\; 15^2 \;=\; r^2 \;-\; 225,
logo \rho = \sqrt{\,r^2 - 225\,}.

Passo 4

A área A de um círculo de raio \rho é dada por
A = \pi\,\rho^2.
Substituindo \rho^2 = r^2 - 225, obtemos
A = \pi\,\bigl(r^2 - 225\bigr).

Resposta

A = \pi\,(r^2 - 225).

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