(q.697/p.248) Duas esferas de metal de raios 2 r e 3 r se fundem para formar uma esfera maior. Determine o raio dessa nova esfera.

Passo 1

O enunciado diz que duas esferas metálicas de raios 2r e 3r se fundem formando uma esfera maior de raio R desconhecido. Como não há perda de material, usamos conservação de volume. A fórmula do volume de uma esfera de raio a é
V = \frac{4}{3}\pi a^3.

Passo 2

Calculamos o volume total somando os volumes das duas esferas iniciais:
V_{\text{total}} = \frac{4}{3}\pi (2r)^3 + \frac{4}{3}\pi (3r)^3 = \frac{4}{3}\pi \bigl(8r^3 + 27r^3\bigr) = \frac{4}{3}\pi \,35r^3.

Passo 3

Esse volume total se converte no volume da esfera de raio R, portanto
\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \,35r^3.
Cancelando o fator \tfrac{4}{3}\pi em ambos os lados, vem
R^3 = 35\,r^3 \quad\Longrightarrow\quad R = \sqrt[3]{35}\,r.

Resposta

O raio da nova esfera é
R = \sqrt[3]{35}\,r.

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