(q.727/p.251) A área total de um cubo e a área de uma superfície esférica são iguais. Qual a razão entre o raio da superfície esférica e a medida de uma aresta do cubo?

Passo 1

O enunciado diz que a área total de um cubo e a área da superfície de uma esfera são iguais. Temos uma aresta do cubo medindo a e o raio da esfera valendo R. Para resolver, vamos usar as fórmulas básicas de área superficial de sólidos geométricos: a área total de um cubo e a área de uma esfera.

Passo 2

A área total de um cubo de aresta a é dada por
6a^2.
A área da superfície de uma esfera de raio R é
4\pi R^2.

Passo 3

Como as áreas são iguais, igualamos as duas expressões:
6a^2 = 4\pi R^2.
Agora vamos isolar R^2.

Passo 4

Dividindo ambos os lados de
6a^2 = 4\pi R^2
por 4\pi, obtemos
R^2 = \frac{6a^2}{4\pi} = \frac{3}{2\pi}\,a^2.
Tirando a raiz quadrada em ambos os lados, temos
R = \sqrt{\frac{3}{2\pi}}\;a.
Portanto, a razão entre o raio da esfera e a aresta do cubo é \displaystyle \frac{R}{a} = \sqrt{\frac{3}{2\pi}}.

Resposta

\frac{R}{a} = \sqrt{\frac{3}{2\pi}}.

Exercícios relacionados