73 Uma caixa contém N moléculas. Considere duas configurações: a configuração A, com uma divisão igual de moléculas entre os dois lados da caixa, e a configuração B, com 60,0 \% das moléculas no lado esquerdo e 40,0 \% no lado direito. Para N=50, quais são (a) a multiplicidade W_{A} da configuração A, (b) a multiplicidade W_{B} da configuração B e (c) a razão f_{B / A} entre o tempo que o sistema passa na configuração B e o tempo que o sistema passa na configuração A ? Para N=100, quais são (d) W_{A}, (e) W_{B} e (f) f_{B / A} ? Para N=200, quais são (g) W_{A}, (h) W_{B} e (i) f_{B / A} ? (j) Com o aumento de N, f aumenta, diminui ou permanece constante?

Passo 1

O enunciado trata de uma caixa com N moléculas que podem estar no lado esquerdo ou direito. Queremos comparar duas configurações:
– Configuração A: exatamente metade das moléculas em cada lado.
– Configuração B: 60{,}0\% das moléculas à esquerda e 40{,}0\% à direita.
O conteúdo da matéria é a estatística de Maxwell–Boltzmann em nível elementar, usando combinatória para calcular a multiplicidade (número de microestados) de cada configuração, e depois a razão dos tempos de permanência proporcional às multiplicidades.

Passo 2

A multiplicidade geral para N moléculas, com n_{L} moléculas no lado esquerdo, é
W(N,n_{L}) =\frac{N!}{\,n_{L}!\,(N-n_{L})!\,}
Para a configuração A, temos n_{L}=N/2, logo
W_{A}=\binom{N}{N/2}
Para B, n_{L}=0{,}6\,N (e N-n_{L}=0{,}4\,N), logo
W_{B}=\binom{N}{0{,}6\,N}
A razão dos tempos de permanência f_{B/A} é simplesmente
f_{B/A}=\frac{W_{B}}{W_{A}}.

Passo 3

Caso N=50:
W_{A}=\binom{50}{25}=126\,410\,606\,437\,752\approx1{,}2641\times10^{14}
W_{B}=\binom{50}{30}=\binom{50}{20}=47\,129\,212\,243\,960\approx4{,}7129\times10^{13}
f_{B/A}=\frac{4{,}7129\times10^{13}}{1{,}2641\times10^{14}}\approx0{,}373

Passo 4

Caso N=100:
W_{A}=\binom{100}{50}\approx1{,}0089\times10^{29}
W_{B}=\binom{100}{60}=\binom{100}{40}\approx1{,}3746\times10^{28}
f_{B/A}=\frac{1{,}3746\times10^{28}}{1{,}0089\times10^{29}}\approx0{,}136

Passo 5

Caso N=200:
W_{A}=\binom{200}{100}\approx9{,}0548\times10^{58}
W_{B}=\binom{200}{120}=\binom{200}{80}\approx1{,}6580\times10^{57}
f_{B/A}=\frac{1{,}6580\times10^{57}}{9{,}0548\times10^{58}}\approx0{,}0183

Passo 6

À medida que N aumenta, a distribuição binomial se concentra cada vez mais em torno de n_{L} = \frac{N}{2}. Desvios de \pm 10\% tornam‐se exponencialmente improváveis, de modo que f_{B/A} diminui com N.

Resposta

(a) W_{A}(N=50)=126\,410\,606\,437\,752
(b) W_{B}(N=50)=47\,129\,212\,243\,960
(c) f_{B/A}(N=50)\approx0{,}373
(d) W_{A}(N=100)\approx1{,}0089\times10^{29}
(e) W_{B}(N=100)\approx1{,}3746\times10^{28}
(f) f_{B/A}(N=100)\approx0{,}136
(g) W_{A}(N=200)\approx9{,}0548\times10^{58}
(h) W_{B}(N=200)\approx1{,}6580\times10^{57}
(i) f_{B/A}(N=200)\approx0{,}0183
(j) Com o aumento de N, f_{B/A} diminui.

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