Verifique por substituição que a solução geral de onda estacionária, \Psi(x)=A \operatorname{sen}(k x)+\cos (k x) onde k= \sqrt{2 m E} / \hbar, satisfaz à equação de Schroedinger independente do tempo para o poço de potencial quadrado finito na região dentro do poço.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
\Psi(x)=A\sin(kx)+\cos(kx), com
k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},
satisfaz a equação de Schr"odinger independente do tempo dentro do po\c{c}o, onde V(x)=0. A equa\c{c}~ao de Schr"odinger independente do tempo `e
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2}+V(x)\,\Psi(x)=E\,\Psi(x).

Passo 2

Como dentro do poço V(x)=0, a equação fica
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2}=E\,\Psi(x).
Vamos computar a segunda derivada de \Psi(x). Primeiro,
\Psi'(x) = A\,k\cos(kx)\;-\;k\sin(kx).
Derivando de novo,
\Psi''(x) = -A\,k^2\sin(kx)\;-\;k^2\cos(kx) = -k^2\bigl(A\sin(kx)+\cos(kx)\bigr) = -k^2\,\Psi(x).

Passo 3

Substituímos \Psi''(x)=-k^2\Psi(x) na equação reduzida:
-\frac{\hbar^2}{2m}\bigl(-k^2\Psi(x)\bigr) = \frac{\hbar^2\,k^2}{2m}\,\Psi(x).

Passo 4

Como definimos
k^2=\frac{2mE}{\hbar^2},
temos
\frac{\hbar^2\,k^2}{2m}\,\Psi(x) =\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{2mE}{\hbar^2}\,\Psi(x) =E\,\Psi(x).
Isso mostra que
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\Psi''(x)=E\,\Psi(x),
ou seja, \Psi(x) satisfaz a equa\c{c}~ao de Schr"odinger independente do tempo na regi~ao interna do po\c{c}o.

Resposta

A solu\c{c}~ao \Psi(x)=A\sin(kx)+\cos(kx) satisfaz a equa\c{c}~ao de Schr"odinger independente do tempo dentro do po\c{c}o de potencial quadrado finito.

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