73 No instante t=0 e na posição x=0 de uma corda, uma onda senoidal progressiva com uma frequência angular de 440 \mathrm{rad} / \mathrm{s} tem um deslocamento y=14,5 \mathrm{~mm} e uma velocidade transversal u=-0,75 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Caso a onda tenha a forma geral y(x, t)=y_{m} \operatorname{sen}(k x-\omega t+\varphi), qual é a constante de fase \varphi ?

Passo 1

O enunciado descreve uma onda progressiva da forma
y(x,t)=y_{m}\,\operatorname{sen}\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr)
com \omega=440,rad/s. No instante t=0 e na posição x=0 medimos o deslocamento transversal y(0,0)=14{,}5 mm e a velocidade transversal
u(0,0)=\frac{\partial y}{\partial t}\Big|_{(0,0)}=-0{,}75\text{ m/s}.
O objetivo é determinar a fase inicial \varphi.

Passo 2

Escrevemos em x=0, t=0:
y(0,0)=y_{m}\,\operatorname{sen}(\varphi)=0{,}0145\quad(\text{m}),
pois 14{,}5,mm =0{,}0145,m.

Passo 3

Calculamos a velocidade transversal pela derivada temporal:
u(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t} =-\omega\,y_{m}\,\cos\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr).
Em x=0, t=0 isso dá
u(0,0)=-\omega\,y_{m}\,\cos(\varphi)=-0{,}75.
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\cos(\varphi)=\frac{0{,}75}{\omega\,y_{m}} =\frac{0{,}75}{440\,y_{m}}.

Passo 4

Para eliminar y_{m}, fazemos a razão entre \operatorname{sen}(\varphi) e \cos(\varphi):
\tan(\varphi) =\frac{\operatorname{sen}(\varphi)}{\cos(\varphi)} =\frac{\frac{0{,}0145}{y_{m}}}{\frac{0{,}75}{440\,y_{m}}} =\frac{0{,}0145\cdot440}{0{,}75} \approx8{,}5067.

Passo 5

Como \operatorname{sen}(\varphi)>0 e \cos(\varphi)>0 (ambos num numerador positivo), \varphi está no primeiro quadrante. Assim
\varphi=\arctan(8{,}5067)\approx1{,}45\;\text{rad}.

Resposta

\displaystyle \varphi\approx1{,}45\;\text{rad}.

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