8 (a) Se uma onda estacionária em uma corda é dada por
y^{\prime}(t)=(3 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(5 x) \cos (4 t),
existe um nó ou um antinó em x=0 ? (b) Se a onda estacionária é dada por
y^{\prime}(t)=(3 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}(5 x 1 \pi / 2) \cos (4 t),
existe um nó ou um antinó em x=0 ?

Passo 1

O enunciado apresenta duas ondas estacionárias em uma corda e pergunta se em x=0 há nó ou antinó. O conteúdo envolvido é reconhecer que, numa onda estacionária, a forma geral é
y(x,t)=\hat y(x)\cos(\omega t),
onde \hat y(x) é o perfil espacial. Nós são pontos onde \hat y(x)=0 e antinós são pontos onde |\hat y(x)| atinge seu valor máximo.

Passo 2

Definição de nó e antinó:
Um nó é uma posição em que a amplitude espacial \hat y(x) vale zero, isto é
\hat y(x)=0.
Um antinó (ventre) é onde \hat y(x) atinge o valor máximo \max|\hat y(x)|.

Passo 3

Para a parte (a) temos
\hat y(x)=3\,\mathrm{mm}\,\sin(5x).
Em x=0:
\hat y(0)=3\,\mathrm{mm}\,\sin(5\cdot0)=3\,\mathrm{mm}\times0=0,
logo x=0 é um nó.

Passo 4

Para a parte (b) temos
\hat y(x)=3\,\mathrm{mm}\,\sin\bigl(5x+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Em x=0:
\hat y(0)=3\,\mathrm{mm}\,\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=3\,\mathrm{mm}\times1=3\,\mathrm{mm},
que é o valor máximo possível, logo x=0 é um antinó.

Resposta

(a) nó
(b) antinó

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