2.74 Suponha que e sejam ortogonais. Mostre que e também são ortogonais.
2.75 Decida quais das matrizes seguintes são normais. .
Passo 1
Resumindo o enunciado: no exercício 2.74 devemos mostrar que, se A e B são ortogonais, então as matrizes A^T, A^-1 e AB também são ortogonais. Em seguida, no exercício 2.75, precisamos decidir quais das matrizes
são normais, usando a definição de matriz normal: M é normal se M^T M = M M^T.
Passo 2
Para 2.74, usar a definição de matriz ortogonal: uma matriz M é ortogonal se e somente se
M^T M = I
Como consequência decorre também M M^T = I.
Passo 3
Mostrar que A^T é ortogonal. Aplicamos a definição:
(A^T)^T A^T = A A^T = I,
pois A é ortogonal. Logo A^T satisfaz a condição e é ortogonal.
Passo 4
Mostrar que A^-1 é ortogonal. Sabemos que, para matriz ortogonal A, vale A^-1=A^T. Como já vimos que A^T é ortogonal, segue que A^-1 também é ortogonal.
Passo 5
Mostrar que o produto AB é ortogonal. Usamos
(AB)^T(AB) = B^T A^T A B = B^T I B = B^T B = I,
já que A e B são ortogonais. Logo AB é ortogonal.
Passo 6
Para 2.75, relembrar que uma matriz M é normal se e somente se
M^T M = M M^T
Passo 7
Verificar A. Temos
A^T = 3 & 4 -4 & 3
Cálculo de A^T A e A A^T dá ambas igual a 25I, então A^T A = A A^T e A é normal.