2.74 Suponha que A e B sejam ortogonais. Mostre que A^T, A^-1 e A B também são ortogonais.
2.75 Decida quais das matrizes seguintes são normais. A=[rr3 & -4 4 & 3], B=[rr1 & -2 2 & 3], C=[lll1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1].

Passo 1

Resumindo o enunciado: no exercício 2.74 devemos mostrar que, se A e B são ortogonais, então as matrizes A^T, A^-1 e AB também são ortogonais. Em seguida, no exercício 2.75, precisamos decidir quais das matrizes
A = 3 & -4 4 & 3, B = 1 & -2 2 & 3, C = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
são normais, usando a definição de matriz normal: M é normal se M^T M = M M^T.

Passo 2

Para 2.74, usar a definição de matriz ortogonal: uma matriz M é ortogonal se e somente se
M^T M = I
Como consequência decorre também M M^T = I.

Passo 3

Mostrar que A^T é ortogonal. Aplicamos a definição:
(A^T)^T A^T = A A^T = I,
pois A é ortogonal. Logo A^T satisfaz a condição e é ortogonal.

Passo 4

Mostrar que A^-1 é ortogonal. Sabemos que, para matriz ortogonal A, vale A^-1=A^T. Como já vimos que A^T é ortogonal, segue que A^-1 também é ortogonal.

Passo 5

Mostrar que o produto AB é ortogonal. Usamos
(AB)^T(AB) = B^T A^T A B = B^T I B = B^T B = I,
já que A e B são ortogonais. Logo AB é ortogonal.

Passo 6

Para 2.75, relembrar que uma matriz M é normal se e somente se
M^T M = M M^T

Passo 7

Verificar A. Temos
A^T = 3 & 4 -4 & 3
Cálculo de A^T A e A A^T dá ambas igual a 25I, então A^T A = A A^T e A é normal.

Passo 8

Verificar B. Calculando B B^T obtemos
B B^T = 5 & -4 -4 & 13,
e
B^T B = 5 & 4 4 & 13
Como B B^T neq B^T B, B não é normal.

Passo 9

Verificar C. Os produtos são
C C^T = 3 & 2 & 1 2 & 2 & 1 1 & 1 & 1, C^T C = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3
Como C C^T neq C^T C, C não é normal.

Resposta

2.74 As matrizes A^T, A^-1 e AB são ortogonais.
2.75 Apenas A é normal.

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