Encontre uma base para os seguintes subespaços de R^4 :
Os vetores para os quais x1=2 x4.

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço de R^4 definido pela condição
x1 = 2,x4
O conteúdo envolve subespaços, parametrização de vetores e extração de geradores que serão verificados como independentes para formar a base.

Passo 2

Um vetor genérico de R^4 pode ser escrito como
(x1,x2,x3,x4),
e a condição imposta é x1=2,x4. Logo
(x1,x2,x3,x4)=(2,x4,x2,x3,x4)
Agora tomamos parâmetros livres
a=x2,;b=x3,;c=x4inR, e reescrevemos
(x1,x2,x3,x4)=(2c,a,b,c)

Passo 3

A expressão (2c,a,b,c) é combinação linear de
(2c,a,b,c)=a,(0,1,0,0)+b,(0,0,1,0)+c,(2,0,0,1)
Portanto, o subespaço é gerado pelos vetores
u=(0,1,0,0), v=(0,0,1,0), w=(2,0,0,1)

Passo 4

Verificamos que u,v,w são linearmente independentes (cada um tem um componente distinto não nulo). Como geram todo o subespaço e são três vetores independentes, eles formam uma base.

Resposta

A base para o subespaço é
(2,0,0,1),;(0,1,0,0),;(0,0,1,0)

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