Encontre uma matriz
ortogonal
cujas duas primeiras linhas sejam múltiplos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma matriz ortogonal
cujas duas primeiras linhas sejam múltiplos dos vetores
e
. O conteúdo da matéria envolve ortonormalização de vetores em
(Gram–Schmidt) e completar uma base ortonormal.
Passo 2
Definimos
Vamos primeiro normalizar
para obter o primeiro vetor unitário
.
Passo 3
Calculamos o comprimento de
:
Logo,
Como
os vetores
e
já são ortogonais. Basta agora normalizar
.
Passo 4
O comprimento de
é
portanto
Para obter o terceiro vetor ortonormal, tomamos o produto vetorial:
Verifica-se que
e que
é ortogonal a
e
.
Resposta
A matriz ortogonal cuja primeira linha é múltiplo de
, a segunda de
e que completa uma base ortonormal é