Encontre uma matriz 3 times 3 ortogonal P cujas duas primeiras linhas sejam múltiplos de
(1,3,1) e (1,0,-1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz ortogonal 3times3 P cujas duas primeiras linhas sejam múltiplos dos vetores (1,3,1) e (1,0,-1). O conteúdo da matéria envolve ortonormalização de vetores em R^3 (Gram–Schmidt) e completar uma base ortonormal.

Passo 2

Definimos
v1 = (1,3,1),
v2 = (1,0,-1)
Vamos primeiro normalizar v1 para obter o primeiro vetor unitário e1.

Passo 3

Calculamos o comprimento de v1:
|v1| = raiz1^2 + 3^2 + 1^2 = raiz11
Logo,
e1 = 1raiz11,(1,3,1)
Como
v2 cdot v1 = 1cdot1 + 0cdot3 + (-1)cdot1 = 0,
os vetores v1 e v2 já são ortogonais. Basta agora normalizar v2.

Passo 4

O comprimento de v2 é
|v2| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz2,
portanto
e2 = 1raiz2,(1,0,-1)
Para obter o terceiro vetor ortonormal, tomamos o produto vetorial:
e3 = e1 times e2 = l(-tfrac3raiz22,,tfrac2raiz22,,-tfrac3raiz22r)
Verifica-se que |e3|=1 e que e3 é ortogonal a e1 e e2.

Resposta

A matriz ortogonal cuja primeira linha é múltiplo de (1,3,1), a segunda de (1,0,-1) e que completa uma base ortonormal é
P = 1raiz11 & 3raiz11 & 1raiz11 [6pt] 1raiz2 & 0 & -1raiz2 [6pt] -3raiz22 & 2raiz22 & -3raiz22 ]

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