2.77 Suponha que A seja uma matriz complexa. Mostre que A A^H e A^H A são hermitianas.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz complexa arbitrária e pede para mostrar que as matrizes
AA^H e A^HA
são hermitianas.
Lembre-se que uma matriz M é hermitiana se e somente se
M^H=M

Passo 2

Usamos a propriedade do conjugado-transposto de um produto e a involutividade: para matrizes com dimensões compatíveis vale
(XY)^H=Y^HX^H, e (A^H)^H=A
Logo,
(AA^H)^H = (A^H)^H,A^H = A,A^H,
o que mostra que AA^H é hermitiana.

Passo 3

De modo análogo, aplicando as mesmas propriedades a A^HA obtemos
(A^HA)^H = A^H,(A^H)^H = A^HA,
portanto A^HA também é hermitiana.

Resposta

AA^H e A^HA são hermitianas.

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