Questão 1: Considere
dada por
.
a. Prove que
é uma transformação linear.
b. Determine uma base da imagem de
.
c. Determine uma base do núcleo de
.
d. T é sobrejetiva? É injetiva?
a. Prove que
b. Determine uma base da imagem de
c. Determine uma base do núcleo de
d. T é sobrejetiva? É injetiva?
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
O conteúdo é transformação linear, imagem, núcleo, injetividade e sobrejetividade. Vamos primeiro provar linearidade, depois achar base da imagem, depois base do núcleo e por fim decidir se é injetiva e/ou sobrejetiva.
Passo 2
Para mostrar que
é linear, precisamos verificar duas propriedades. Dados
e
em
e escalar
:
Separando e reunindo termos,
Assim,
preserva soma e multiplicação por escalar, logo é linear.
Passo 3
A imagem de
é o subespaço gerado por
e
. Calculamos:
Para ver que estes vetores são independentes, suponha
Isso gera o sistema
Da primeira equação vem
; então das outras duas segue
. Logo são independentes e formam base de
.
Passo 4
O núcleo de
consiste dos
tais que
Da primeira coordenada vem
. Substituindo nas outras,
e
é redundante. Logo o único vetor do núcleo é
. O núcleo é trivial e sua base é vazia (ou podemos dizer que a única combinação é o vetor zero).
Passo 5
Pelo teorema da dimensão para transformações lineares,
confirma
. Como
,
é injetiva. Mas
, então a imagem não é todo
e
não é sobrejetiva.
Resposta
(a)
é linear.
(b) Uma base de é
.
(c) , base trivial.
(d) é injetiva e não sobrejetiva.
(b) Uma base de
(c)
(d)