Questão 1: Considere T: R^{2} \rightarrow R^{3} dada por T(x, y)=(2 x, x-3 y, x+y).
a. Prove que T é uma transformação linear.
b. Determine uma base da imagem de T.
c. Determine uma base do núcleo de T.
d. T é sobrejetiva? É injetiva?

Passo 1

O enunciado dá a transformação T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y) = (2x,\;x-3y,\;x+y).
O conteúdo é transformação linear, imagem, núcleo, injetividade e sobrejetividade. Vamos primeiro provar linearidade, depois achar base da imagem, depois base do núcleo e por fim decidir se é injetiva e/ou sobrejetiva.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, precisamos verificar duas propriedades. Dados (x_1,y_1) e (x_2,y_2) em \mathbb{R}^2 e escalar c\in\mathbb{R}:
1) Aditividade:
T\bigl((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\bigr) = T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \bigl(2(x_1+x_2),\;(x_1+x_2)-3(y_1+y_2),\;(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\bigr).
Separando e reunindo termos,
= (2x_1,\,x_1-3y_1,\,x_1+y_1)\;+\;(2x_2,\,x_2-3y_2,\,x_2+y_2) = T(x_1,y_1) + T(x_2,y_2).
2) Homogeneidade:
T\bigl(c\,(x_1,y_1)\bigr) = T(cx_1,\;cy_1) = \bigl(2cx_1,\;cx_1-3cy_1,\;cx_1+cy_1\bigr) = c\,(2x_1,\,x_1-3y_1,\,x_1+y_1) = c\,T(x_1,y_1).
Assim, T preserva soma e multiplicação por escalar, logo é linear.

Passo 3

A imagem de T é o subespaço gerado por T(1,0) e T(0,1). Calculamos:
T(1,0) = (2,\;1,\;1), \quad T(0,1) = (0,\;-3,\;1).
Para ver que estes vetores são independentes, suponha
a\,(2,1,1) + b\,(0,-3,1) = (0,0,0).
Isso gera o sistema
2a = 0,\quad a - 3b = 0,\quad a + b = 0.
Da primeira equação vem a=0; então das outras duas segue b=0. Logo são independentes e formam base de \operatorname{Im}(T).

Passo 4

O núcleo de T consiste dos (x,y) tais que
(2x,\;x-3y,\;x+y) = (0,0,0).
Da primeira coordenada vem 2x=0\implies x=0. Substituindo nas outras, -3y=0\implies y=0 e 0+y=0 é redundante. Logo o único vetor do núcleo é (0,0). O núcleo é trivial e sua base é vazia (ou podemos dizer que a única combinação é o vetor zero).

Passo 5

Pelo teorema da dimensão para transformações lineares,
\dim(\mathbb{R}^2) = \dim\bigl(\ker T\bigr) + \dim\bigl(\operatorname{Im} T\bigr)
confirma 2 = 0 + 2. Como \ker T=\{0\}, T é injetiva. Mas \dim\bigl(\operatorname{Im}T\bigr)=2<3=\dim(\mathbb{R}^3), então a imagem não é todo \mathbb{R}^3 e T não é sobrejetiva.

Resposta

(a) T é linear.
(b) Uma base de \operatorname{Im}(T) é \{(2,1,1),\,(0,-3,1)\}.
(c) \ker(T)=\{(0,0)\}, base trivial.
(d) T é injetiva e não sobrejetiva.

Exercícios relacionados