(0,75) Considere o subespaço vetorial \left\{A \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}): A\right. é uma matriz triangular superior \} de \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}). A dimensão desse subespaço vetorial é igual a:
a) 3
b) 6
c) 10
d) 13
e) 16

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço de todas as matrizes triangulares superiores em \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}). O conteúdo aqui é espaço vetorial e dimensão, e vamos precisar identificar uma base natural desse subespaço e contar quantos vetores essa base tem.

Passo 2

Uma matriz A=(a_{ij}) em \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}) é triangular superior se e somente se a_{ij}=0 sempre que i>j. Logo, os únicos coeficientes livres são
a_{11},\;a_{12},\;a_{13},\;a_{22},\;a_{23},\;a_{33}.
Cada um desses pode variar livremente em \mathbb{R}.

Passo 3

Como podemos escolher independentemente esses 6 coeficientes, o subespaço possui uma base formada pelas matrizes-canônicas E_{ij} com i\le j. Portanto, o número de elementos da base é 6.

Resposta

b) 6

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