( 0,75 ) Considere todos os valores de k tais que o conjunto \{(k, 0,0),(1, k+1,-1),(2,3, k+5)\} é linearmente dependente (LD). Então, a soma de todos esses valores é igual a:
a) -6
b) -3
c) 0
d) 3
e) 6

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
v_1=(k,0,0),\quad v_2=(1,k+1,-1),\quad v_3=(2,3,k+5),
e pede os valores de k para os quais eles são linearmente dependentes. O conteúdo principal é reconhecer que três vetores em \mathbb{R}^3 são LD se, e somente se, o determinante da matriz que eles formam (como linhas ou colunas) for zero.

Passo 2

Vamos montar a matriz cujas linhas são v_1,v_2,v_3:
A = \begin{pmatrix} k & 0 & 0\\\\ 1 & k+1 & -1\\\\ 2 & 3 & k+5 \end{pmatrix}.
O conjunto é LD exatamente quando \det(A)=0.

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
\det(A) = k\cdot\det\!\begin{pmatrix}k+1 & -1\\\ 3 & k+5\end{pmatrix} = k\bigl((k+1)(k+5)-(-1)\cdot3\bigr).
Dentro do parêntese temos
(k+1)(k+5)+3 =k^2+6k+5+3 =k^2+6k+8.

Passo 4

Logo
\det(A)=k\,(k^2+6k+8) = k\,(k+2)\,(k+4).
Para LD precisamos de \det(A)=0, ou seja,
k\,(k+2)\,(k+4)=0 \quad\Longrightarrow\quad k\in\{0,\,-2,\,-4\}.

Passo 5

A soma de todos esses valores é
0 + (-2) + (-4) = -6.

Resposta

-6

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