Seja \mathbf{V}=\left(M_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot\right) o espaço vetorial das matrizes quadradas 2 \times 2 com entradas reais e operações usuais. E
W_{1}=\left\{\left(\begin{array}{cc} a & b \\\\ -b & a \end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}): a, b \in \mathbb{R}\right\}
e
W_{2}=\left\{\left(\begin{array}{cc} c & d \\\ d & -c \end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}): c, d \in \mathbb{R}\right\}
subconjuntos de \mathbf{V}. Mostre que \mathbf{W}_{1} \mathrm{e} \mathbf{W}_{2} são subespaços de \mathbf{V}=M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial \mathbf{V}=M_{2}(\mathbb{R}) e dois subconjuntos
W_{1}=\Bigl\{\begin{pmatrix}a & b\\\ -b & a\end{pmatrix}:a,b\in\mathbb{R}\Bigr\}, \quad W_{2}=\Bigl\{\begin{pmatrix}c & d\d & -c\end{pmatrix}:c,d\in\mathbb{R}\Bigr\}.
Queremos mostrar que cada W_{i} é subespaço de \mathbf{V}. Para isso precisamos verificar para cada W_{i}: (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob adição e (iii) é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação para W_{1}.
  1. Vetor zero: tomando a=0 e b=0 obtemos
\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\in W_{1}.
  1. Fechamento em adição: sejam \displaystyle X=\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\\ -b_{1}&a_{1}\end{pmatrix} e \displaystyle Y=\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\\ -b_{2}&a_{2}\end{pmatrix} em W_{1}.
    Então
X+Y =\begin{pmatrix}a_{1}+a_{2}&b_{1}+b_{2}\\\ -(b_{1}+b_{2})&a_{1}+a_{2}\end{pmatrix},
e como a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}\in\mathbb{R}, concluímos X+Y\in W_{1}.

Passo 3

Ainda para W_{1}, fechamento em escalar: seja \lambda\in\mathbb{R} e \displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b\\\ -b&a\end{pmatrix}\in W_{1}.
Então
\lambda X =\begin{pmatrix}\lambda a&\lambda b\\\\ -\lambda b&\lambda a\end{pmatrix},
e \lambda a,\lambda b\in\mathbb{R} implica \lambda X\in W_{1}.
Como as três condições são satisfeitas, W_{1} é subespaço de \mathbf{V}.

Passo 4

Verificação para W_{2}.
  1. Vetor zero: tomando c=0 e d=0 obtemos
\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\in W_{2}.
  1. Fechamento em adição: sejam \displaystyle U=\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\d_{1}&-c_{1}\end{pmatrix} e \displaystyle V=\begin{pmatrix}c_{2}&d_{2}\d_{2}&-c_{2}\end{pmatrix} em W_{2}.
    Então
U+V =\begin{pmatrix}c_{1}+c_{2}&d_{1}+d_{2}\d_{1}+d_{2}&-(c_{1}+c_{2})\end{pmatrix},
com c_{1}+c_{2},d_{1}+d_{2}\in\mathbb{R}, logo U+V\in W_{2}.

Passo 5

Ainda para W_{2}, fechamento em escalar: seja \mu\in\mathbb{R} e \displaystyle U=\begin{pmatrix}c&d\d&-c\end{pmatrix}\in W_{2}.
Então
\mu U =\begin{pmatrix}\mu c&\mu d\\mu d&-\mu c\end{pmatrix},
com \mu c,\mu d\in\mathbb{R}, segue \mu U\in W_{2}.
Portanto W_{2} satisfaz as três condições de subespaço.

Resposta

W_{1} e W_{2} são subespaços de M_{2}(\mathbb{R}).

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