Queremos mostrar que cada W_{i} é subespaço de \mathbf{V}. Para isso precisamos verificar para cada W_{i}: (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob adição e (iii) é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificação para W_{1}.
Vetor zero: tomando a=0 e b=0 obtemos
\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\in W_{1}.
Fechamento em adição: sejam \displaystyle X=\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\\ -b_{1}&a_{1}\end{pmatrix} e \displaystyle Y=\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\\ -b_{2}&a_{2}\end{pmatrix} em W_{1}.
Então
e como a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}\in\mathbb{R}, concluímos X+Y\in W_{1}.
Passo 3
Ainda para W_{1}, fechamento em escalar: seja \lambda\in\mathbb{R} e \displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b\\\ -b&a\end{pmatrix}\in W_{1}.
Então
\lambda X =\begin{pmatrix}\lambda a&\lambda b\\\\ -\lambda b&\lambda a\end{pmatrix},
e \lambda a,\lambda b\in\mathbb{R} implica \lambda X\in W_{1}.
Como as três condições são satisfeitas, W_{1} é subespaço de \mathbf{V}.
Passo 4
Verificação para W_{2}.
Vetor zero: tomando c=0 e d=0 obtemos
\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\in W_{2}.
Fechamento em adição: sejam \displaystyle U=\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\d_{1}&-c_{1}\end{pmatrix} e \displaystyle V=\begin{pmatrix}c_{2}&d_{2}\d_{2}&-c_{2}\end{pmatrix} em W_{2}.
Então